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Anzahl zu denken, aber natürlich kommt ihnen keine besondere Bedeutung zu, und wir 

 können die Gesammtheit aller Parallelogone einer Art in einem Typus vereinigen, und die 

 geradlinigen als die einfachsten für die typischen betrachten, welche als die primären 

 bezeichnet Avurden, da sämmtliche anderen, die secundären, von ihnen durch eine unend- 

 liche Anzahl. verschiedener Operationen abgeleitet gedacht werden können. *) 



7. Nun ist aber die Möglichkeit dieser Operationen durch die aufgestellte Bedingung 

 der Continuität wesentlich beschränkt. Es ist also unmöglich, die geraden Grenzlinien durch 

 solche andere zu ersetzen, welche einander schneiden würden. 



Eine weitere Beschränkung dieser Operationen bringt die Symmetrie mit. 



Es war schon längst bewiesen worden, dass das Vorhandensein einer zur Ebene senk- 

 rechten zweizähligen Symmetrieaxe allein genügt, um die krummlinigen Grenzlinien unmögHch 

 zu machen.*) 



8. Die Symmetrie einer Planeinheit kann aber viel höher sein. Um die möglichen 

 Syrametrieelemente aufzusuchen, müssen wir die mögliche Vertheilung der Colonne resp. der 

 Grenzlinien in Betracht ziehen. 



Dass zur Ebene senkrechte Symmetrieebenen möglich sind, bedarf keines speciellen 

 Beweises. 



Unter den zur Ebene senkrechten Syrametriaxen ist für das Diparallelogon die höchst 

 mögliche vierzählige und für das Triparallelogon die sechszählige Symmetriaxe denkbar. 



Diesen Symmetrieaxen entspricht unter den geradlinigen, also primären Parallelogonen 

 das reguläre Viereck (Quadrat) resp. das reguläre Sechseck. 



Die höchst möglichen Symmetriearten der Parallelogone, folghch auch der Systeme 

 I. Ordnung überhaupt, sind diejenigen, welche durch eine vierzählige Symmetrieaxe und vier 

 verticale Symmetrieebenen (ditetragonal-pyramidale Symmetrieart) resp. durch eine sechs- 

 zählige Symmetrieaxe und sechs verticale Symmetrieebenen bedingt werden (dihexagonal- 

 pyramidale Symmetrieart). 







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Fig. 1. 



Fig. 2. 



Die erste entspricht dem Quadrat (Fig. 1), die zweite dem regulären Sechseck (Fig. 2). 



1) Die Definition und nähere Untersuchung der secundären Parallelogonsysteme ist in E. G. L. 

 § 58 enthalten. Hierselbst wurde auch gezeigt, dass durch die zur Darstellung der secundären Parallelo- 

 gone dienende Construction sich nicht nur die krummlinigen und sonst complicirten Formen erhalten 

 lassen, sondern auch die Verwandlung der Diparallelogone in Triparallelogone und umgekehrt zu Stande 

 kommen kann. Diese specielle Construction ist in der Fig. 89 veranschaulicht. 



2) Dieser Beweis in E. G. L. § .57 wurde dadurch erbracht, dass in die Definition des primären 

 Parallelogons das Vorhandensein' dieses Symmetrieelementes eingeführt wurde (Definition 6), und dann 

 der Beweis geliefert wurde, dass solche einfache Figuren nur convexe sein können (Zusatz S. 173). 



