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Es ergiebt sich weiter von selbst, dass auch sämmtliche andere, in Bezug auf diese 

 beiden untergeordnete, Symmetriearten (man pflegt zuweilen dieselben als Untergruppen zu 

 bezeichnen) ebenfalls für die betreffenden Parellelogone zulässig sind. 



9. Die Aufgabe der Aufsuchung sämmtlicher hierzu gehörender Symmetriearten gehört 

 der reinen Symmetrielehre an und ist schon längst erschöpfend gelöst.^) 

 Hier können wir uns also mit den Resultaten begnügen. 



Wollen wir sämmtliche durch die Symmetx'ieebenen getrennten Theile abzählen, so 

 finden wir für jeden Typus der Parallelogone , dass jede bestimmte Nummer in Bezug 

 auf jede andere ein bestimmtes Symmetrieelement ausdrückt. Beziehen wir alle diese 

 Nummern auf die Nr. 1, so finden wir: 



für das Quadrat: 2, 4, 6 und 8 drücken verticale Symmetrieebenen von entsprechender 

 bestimmter Lage aus, 3 und 7 gehören zur verticalen vierzähligen Symmetrieaxe 

 und sind untrennbar verbunden, 5 gehört zur verticalen zweizähligen Symmetrie- 

 axe, welche der vierzähligen untergeordnet ist, aber auch als selbständige Axe 

 auftreten kann; 

 für das reguläre Sechseck: 2, 4, 6, 8, 10 und 12 drücken ebenfalls 6 verticale Sym- 

 metrieebenen von ganz bestimmter Lage aus, 3 und 11 beziehen sich speciell auf 

 die sechszählige, 5 und 9 auf die dreizählige Symmetrieaxe; beide letzte Zahlenpaare 

 sind unter sich untrennbar, aber die letzte kann auch selbständig auftreten, ebenso 

 wie die zweizählige Symmetrieaxe, welche hier durch 7 ausgedrückt wird. 

 Berücksichtigen wir die vorangehenden Resultate, so erhalten wir folgende Tabelle der 



Symmetriearten der ebenen Systeme. 



Nr. 



Symmetrie- 

 grösse 



Charakteristische Zahlencomplexe 

 für Diparallelogone für Triparallelogone 



Gleichungen der 

 Symmetrie 



1 



1 



1 



1 







2 = C; 



V = ä 



2 



2 



1 5 



1 7 







z = n''c 



V = n''d 



3 



2 



1 2 



1 2 







z = n'i'c; 



V := d 



4 



4 



12 5 6 



12 7 8 







Z = w^C; 



V = v} d 



5 



4 



13 5 7 



- 



- 





2/0 = &s; 



2/1 = h+\ 



6 



8 



12 3 4 5 6 7 8 



- 



- 





2/0 = ?>«; 



2/1 = ^s+n^ 



7 



3 



— 



15 9 







3 



2/0 = ös; 



2/1 = fcs+i 



8 



6 



— 



1 2 5 6 9 10 







3 



2/0 = &s; 



2/1 = ös-F»'^ 



9 



6 



— 



1 3 5 7 9 11 







2/0 = 0s; 



2/1 = 6s+i 



10 



12 



— 



12 3 4 5 6 7 



8 9 10 



11 12 



2/0 = fes; 



6 



2/1 = hs+n^ 



1) Die vollständige Auffindung der Symmetriearten auf der Ebene überhaupt und speciell diejenige 

 der regulären Plantheilungen wurde S. L. IV I. Theil ausgeführt. 



Dabei wurde gezeigt, dass eine unendliche Reihe geometrischer Symmetriesysteme vorhanden ist, 

 und in jedem System vier verschiedene Symmetriearten enthalten sind. 



Zuerst wurde der analytische Ausdruck durch Symmetriegleichungen in dem neu eingeführten 

 geradlinigen Coordinatenaxensystem gegeben und dann auf Grund der Transformationsformel dieselben 



