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Hier sind die algebraischen Gleichungen sämmtlicher Symmetriearten angegeben, da 

 durchaus nicht alle Zahlencoraplexe für eine gegebene Symmetrieart eindeutig sind. Die 

 dritte Symmetrieart bedeutet z. B. das Vorhandensein einer einzigen verticalen Symmetrie- 

 ebene. Dieselbe kann aber in verschiedener Weise orientirt und in verschiedenen Fällen 

 durch verschiedene Zahlencomplexe ausgedrückt werden. Die Symmetriegleichungen sind 

 aber von mehr abstracter Natur, indem die Coordinatenaxen verschiedenartig vorgestellt 

 vferden können. 



Gleichungen im polaren Coordinatensystem ausgedrückt. Auch von der Lehre der Radien-Vectoren 



wurde Anwendung gemacht. 



Auf diese Weise Hess sich folgende Tabelle der Symmetriearten auf der Ebene herstellen: 



22)-gonales Symmetriesystem. 



Analytischer Ausdruck 

 durch Vectoren 



^p p _^^^^^^^^^ 



F= ~^a'-\-rO'b'-i — nl^^a -\-n'f-b-i 



Sym- 

 etriear 



t 



Geradliniges 

 Coordinatensystem 



Polares 

 Coordinatensystem 



I 





2p 2? 



2/0 = ^s yi = bs+n'' 



Q = r y = n''g-\-S' 





oder 



p p 

 yQ = n^bs i/i = n ' bs+n'' 





11 





2p 2p 



yo = bs yi = bs + i 





[W'g + s.'^) 



= r • e' ( H« ^ + s 



2p_ 



III 



p 

 2/0 = ^s 



V 

 Vi = ÖS + «'' 



Q — r y = n''g-\-s- 



IV 



p 



p 

 i/i = ts 4- 1 



, 271 



V='\^a'+b'-i = ni^a + bi 



P P ( ji 



oder yo = nibs yi=nibs + i =r-e>{g-j-s- 



— V=l^a-[-ni'b'i = r-e'' (n''g-\-s — 1 



V= ^a+bi = r • e' L + s • y j 



Für die Systeme, in welchen p eine gerade Zahl ist, bleiben nur die beiden ersten Symmetrie- 

 arten übrig. Für das System , für welches p = 1 , also das digonale , ist das geradlinige Coordinaten- 

 system schon ungenügend, und für dasselbe gelten folgende specielle und einfachere Symmetrie- 

 gleichungen: 



Digonales System. 



Analytischer Ausdruck 

 durch Vectoren 



V = ~^a' -j- n'' b' i = ni(a -\- n'^ b ■ i) 



Sym- 

 metrieart 



Geradliniges 

 Coordinatensystem 



Polares 

 Coordinatensystem 



I 



z = n''c 



V = n^d 



p = j- y —ni'g -j- s-jt 



II 



z = n''c 



V = n''d 



Q=r y = gJ^s-Jl 



III' 



z = n''c 



V = d 



g=zr y ^n'fg-]- s -271 



IV 



z = c 



V = d 



Q=r y = g + s-2jt 



7=-^^-fPT= nHa + bi) 

 V= a-\-n'^bi 

 V=a-{-b-i ■ 



Natürlich weisen die Gleichungen der letzten Zeile auf das vollständige Fehlen der Symmetrie hin. 

 In derselben Arbeit wurden ebenfalls die allgemeinsten Ausdrücke für die jeder Symmetrieart 

 angehörenden Curven angegeben, und die einfachsten Reihen ausführlicher besprochen. Die einfachste 

 unendliche Reihe der symmetrischen Curven wurde mit besonderem Namen „Die Actinoiden" belegt. 

 Auch wurde hierselbst auf die Rolle der von Cauchy als „symmetrische" bezeichneten Functionen in 

 der Symmetrielehre hingewiesen. 



Natürlich lassen sich dieselben Principien auch zur Behandlung der symmetrischen Raumgebilde 

 ganz analog anwenden. 



