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Die Bedeutung der Parameter dieser Gleichungen ebenso wie die richtige Vereinigung 

 dieser zehn Syuimetriearten in Gruppen wird aus dem Folgenden ersichtlich. 



10. Für jede Symmetrieart und eine gegebene Richtung von allgemeiner Lage (d. h. 

 eine Gerade, welche weder in der Symmetrieebene liegt noch zu ihr senkrecht steht) erhalten 

 wir eine Anzahl gleichwerthiger Richtungen, welche der Symmetriegrösse gleich ist. Für 

 die particulären Richtungen ist die Anzahl gleicher Richtungen eine geringere und es 

 kann sogar der Fall vorkommen, dass diese Anzahl sich zu einer Einheit reducirt. Solche 

 Richtungen wollen wir als singulare bezeichnen.^) 



Die angegebenen Symmetriearten können in dieser Hinsicht in folgende Gruppen getheilt 

 werden, welche wir als die Arten der Syngonie bezeichnen wollen. 



I. Sämmtliche Richtungen sind singulare. Dazu gehören die beiden ersten 

 Symmetriearten. Diese Syngonie bezeichnen wir als die monokline. 



IL Es giebt nur zwei untereinander senkrechte singulare Richtungen, 

 und zwar diejenigen, welche mit der Trace der Symmetrieebenen auf der Ebene oder mit 

 dem Perpendikel zusammenfallen. Hierzu gehören die dritte und die vierte Symmetrieart. 



Diese Syngonie soll die rhombische heissen. 



HL Es giebt keine singulären Richtungen. Die gleichen oder speciell die parti- 

 culären Richtungen, wenn vorhanden, sind in der Anzahl 2 da. Hierzu gehören die fünfte 

 und die sechste Symmetrieart. 



Diese Syngonie werde als die tetragonale bezeichnet. 



IV. Ebenfalls keine singulären Richtungen, aber die Anzahl der gleichen oder speciell 

 der particulären Richtungen, wenn solche überhaupt vorhanden sind, ist gleich 3. Hierzu 

 gehören die Symmetriearten sieben, acht, neun und zehn. 



Diese Syngonie werde als die hexagonale bezeichnet. 



Für die Coordinatenaxe der Symmetriegleichungen werden entweder die singulären 

 (für die ersten vier Symmetriearten) oder die particulären gleichen Richtungen, oder endlich 

 (für die Symmetriearten fünf, sieben und neun) beliebige gleiche Richtungen genommen. Die 

 singulären Richtungen bezeichnen wir durch verschiedene Buchstaben z und «, die gleichen 

 aber durch dieselben Buchstaben ^/s, wo s die Ordnungszahl ist, und zwar besitzt diese Zahl 

 vier Bedeutungen für die 5. und 6. Symmetrieart, drei Bedeutungen für die 7. und 8. Symmetrie- 

 art, sechs Bedeutungen für die 9. und 10. Symmetrieart. 



Die Coordinatengrösse eines Punktes wird stets durch die durch diesen Punkt gezogenen 

 Perpendikel auf die Coordiuatenaxen bestimmt. 



Das Coordinatensystem lässt sich auf diese Weise für tetragonale und hexagonale 

 Syngoniearten als eine überzählige characterisiren. Somit müssen unter den Coordinaten- 

 grössen specielle Relationen vorhanden sein. Dieselben sind nämlich*) 



2/s sin (2/9 2/,) = 2/0 sin {%j,\j^ + y^ sin {y^y^. 



1) Diese Begriffe wurden in der Zeitschrift für Krystallogi-aphie Bd. XXXI, S. 21 ff. eingeführt. 



2) Diese, ebenso wie sämmtliche andere Grundformeln der analytischen Geometrie auf der Ebene 

 in neuem Coordinatensystem ausgedrückt, sind in dem IL Kapitel S. L. IV. enthalten. 



Wie oben erwähnt, lassen sich die Aufgaben der elementaren analytischen Geometrie durch das 

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