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In allen in der angegebenen Tabelle enthaltenen Gleichungen bedeutet n die negative 

 Einheit ( — 1), die Parameter h und l sind zweizählig und bedeuten eine der zwei Zahlen 

 oder 1. Der Parameter s ist aber mehvzählig und periodisch. Seine Zähligkeit ist die- 

 jenige der durch denselben auszudrückenden Symmetrieaxe, wie eben erwähnt wurde. Der 

 Deutlichkeit -wegen ist die Periode jedes Mal durch eine obenstehende Zahl angezeigt. 



11. Die Darstellung der Systeme I. Ordnung wird dadurch erschöpft, dass man alle 

 diesen Systemen zukommenden Symmetriearten in Betracht zieht. Dabei kann aber vor- 

 kommen, dass man für einen und denselben Parallelogontypus und eine und dieselbe 

 Symmetrieart verschiedene Systeme erhält, indem die Symmetrieelemente in Bezug auf die 

 Colonnen, resp. Grenzlinien verschieden orientirt sind. 



Unter den vier Symmetrieebenen, welche z. B. in dem Quadrate auftreten, kommt den 

 verschiedenen auch eine verschiedene Bedeutung zu, aber nicht alle vier sind in Bezug 

 auf ihre Lage in dem System verschieden. 



Die Lösung der Fragen dieser Art gehört einer besonderen Abzweigung der Sym- 

 metrielehre — der Lehre über scheinbare Symmetrie (l'aspect nach C. Jordan) oder Symmetrie 

 der Lage an. 



Die beiden Lehren, die Symmetrielehre und die Lehre über die scheinbare Symmetrie, 

 stehen untereinander im Besonderen in demselben Verhältniss, in welchem im Allgemeinen 

 die metrische Geometrie und die Geometrie der Lage untereinander stehen. Die Grundzüge 

 der Lehre von der scheinbaren Symmetrie wurden schon früher ziemlich ausführlich behandelt.^) 

 Das Resultat dieser Lehre ist, dass die Arten der scheinbaren Symmetrie zu denjenigen der 

 wirklichen Symmetrie in so naher Beziehung stehen, dass sie analog von derselben Anzahl 

 sind und durch dieselben Bezeichnungen angemerkt werden können, z. B. von der Sym- 



Einführen des neuen Coordinatensystems einfacher auflösen. Als Beispiel kann die Auffindung einer 

 merkwürdigen (übrigens schon längst bekannten, aber speciell für rechtwinkliche Coordinaten hervor- 

 gehobenen) Eigenschaft des Kreises dienen, welche von selbst bei der Darstellung der Kreisgleichung in 

 neuen Coordinaten 



• yl — 2yo l/i cos a + ?/^ = r2 gi^ 2„ 



ersichtlich wird. Diese Eigenschaft hat bei den Ausführungen der Constructionen in stereographischen 

 Projectionen im Gebiete der Krystallographie Anwendung gefunden (vgl. Universalmethode in der Minera- 

 logie und Petrographie, Zeitschrift für Krystallographie XXI, S. 620). 



^) Diese Frage ist in der Abhandlung „Grundzüge der Morphologie und Systematik der Poly- 

 eder" (1893) besprochen. Die Aufgabe der Abhandlung selbst ist aus deren Titel direct ersichtlich. Der- 

 selben ist eine historische Einleitung beigegeben und speciell die Abhandlung von Eberhardt ,,Zur 

 Morphologie der Polyeder" besprochen. In dieser Arbeit wird die Methode gegeben, -sämmtliche Polyeder- 

 arten einer Ordnung aus denen der vorigen erschöpfend abzuleiten. Während H. Eberhardt diese 

 Ableitung mit der IV. Ordnung („Heptaeder" von ihm bezeichnet) abgeschlossen hat, ist in dieser Arbeit 

 die vollständige Ableitung nicht nur der 7-Flächner, sondern auch der 8-Plächner und 9-Plächner gegeben. 

 Jede Polyederart wird durch ein besonderes systematisches Symbol bezeichnet, in welchem diese einen 

 anschaulichen Ausdruck findet. Dabei wurde hervorgehoben, dass selbst für die 7-Plächner H. Eberhardt 

 einen Fehler begangen und zwar einen Typus weniger dargestellt hat. (Bei ihm sind .5 Typen und in 

 der Wirklichkeit deren 6 vorhanden.) 



Ausser den allgemeinen Polyedern (d. h. Polyeder mit lauter dreiflächigen Ecken; solche Polyeder 

 wurden in E. G. L. als trigonoedrische resp. theoretische bezeichnet) wurde in derselben Arbeit auch die 



