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metrie des Quadrates können wir sagen, dass dieselbe ditetragonal (Nr, 6 der Tabelle)^) 

 sei, ebenso wie von der scheinbaren Symmetrie eines beliebigen Parallelogramms. 



In Anbetracht des von der Lehre der scheinbaren Symmetrie begründeten Standpunktes 

 müssen wir also die beiden Symmetrieebenen, deren Tracen den Seiten des Quadrates parallel 

 sind, als gleichwerthige betrachten, wenn auch in der Wirklichkeit keine vierzählige 

 Symmetrieaxe vorhanden wäre. Dasselbe gilt auch für beide diagonale Symmetrieebenen. 

 Die ersten und die letzten Symmetrieebenen sind aber, auf demselben Princip der schein- 

 baren Symmetrie fussend, keineswegs untereinander gleichwerthig. 



Bei der Erschöpfung der möglichen Fälle müssen wir also nothwendig diesen Stand- 

 punkt berücksichtigen und erhalten dann als allein mögliche, und dabei sämmtlich unter- 

 einander verschiedene, folgende Systeme: 



12. 1) 1 II und 2) 1 III bezeichnet zwei Systeme, in welchen Symmetrie vollständig 

 fehlt. Die Zahl 1 soll die Lagerung der Symmetrieelemente in der Ebene ausdrücken, 

 welche aber gerade in diesem Fall gar nicht vorhanden sind; II und III bezeichnen das 

 Di- resp. Triparallelogon. 



3) 2 II und 4) 2 III bedeuten zwei Systeme, in welchen nur zweizählige, in die Centra 

 der Einheiten fallende Symmetrieaxen vorhanden sind (s. Tafel I für diese und andere 

 Systeme). 



5) 311, wenn Symmetrieebenen allein vorhanden sind, welche einem Paar Seiten 

 parallel sind (allgemeiner ausgedrückt der Richtung einer der beiden Colonnen parallel sind). 



6) 4 II, 7) 4 III und 8) 4 III', wenn ebenfalls eine Symmetrieebene allein vorhanden 

 ist; in den beiden ersten Fällen besitzt dieselbe die diagonale Lage, im dritten steht sie 

 zum einen Seitenpaar senkrecht. 



9) 5 II, wenn zwei Symmetrieebenen vorhanden sind, welche beide zur Seite senk- 

 recht stehen. 



10) 611, 11) 6 III. Dieselben senkrechten Symmetrieebenen vorhanden. In dem Di- 

 parallelogon besitzen beide die diagonale Lage; in dem Triparallelogon steht nur eine der- 

 selben diagonal, die andere aber senkrecht zu einem Seitenpaar. 



Methode gegeben , die particulären erschöpfend darzustellen. Dadurch erwirbt die Ableitung der Poly- 

 ederarten ihre höchste Allgemeinheit. Das Resultat ist in folgender Tabelle enthalten: 



Particuläre Polyederarten Zusammen 



— 1 



1 2 



6 8 



40 46 



In derselben Arbeit ist ausserdem die vollständige Ableitung der Paarflächner V., VII. und IX. Ord- 

 nungen ausgeführt und dabei der Dualismus berücksichtigt. Dadurch wird die Anzahl der erschöpfend 

 dargestellten Typen verdoppelt. Alles das blieb der Arbeit von H. Eberhardt fremd. 



*) Die Bezeichnung der Symmetrieart wird von der allgemeinen Figur entnommen. Unter allge- 

 meiner Figur wird eine solche verstanden, welche dadurch entsteht, dass man eine Grenzgerade allge- 

 meiner Lage nimmt und auf Grund aller vorhandenen Symmetrieelemente daraus alle anderen Grenz- 

 geraden ermittelt. Für den betrachteten Fall ist diese Figur ein Ditetragon. 



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Allgemeine 



I. Ordnung (Vierflächner) 



1 



IL „ 



1 



IIL „ 



2 



IV. „ 



6 



V. „ 



17 



VI. „ 



75 



