476 



12) 7 II. Es giebt nur eine einzige in das Centrum fallende vierzählige Syrametrieaxe. 



13) 8 IL Zu derselben kommen noch vier Symmetrieebenen hinzu. 



14) 9 III. Es giebt nur eine einzige in das Centrum fallende dreizählige Symmetrieaxe. 



15) 10 III und 16) 11 III. Zu derselben kommen noch Symmetrieebenen hinzu. Im 

 ersten Fall stehen dieselben senkrecht zu Seitenpaaren; im zweiten stehen dieselben diagonal. 



17) 12 III. Es giebt eine einzige sechszählige, in das Centrum fallende Symmetrieaxe. 



18) 13 III. Zu derselben kommen noch Symmetrieebenen hinzu. 



13. Nehmen wir innerhalb einer Einheit beliebig einen Punkt, so bedingen die Sym- 

 metrieelemente der Einheit ebenso wie die Translationsdeckbewegungen eine unbegrenzte 

 Gesammtheit analoger Punkte, welche als ein regelmässiges Punktsystem be- 

 zeichnet wird. 



Die erschöpfende Darstellung solcher ebener Punktsysteme war schon längst früher 

 ausgeführt,^) und ist in der Tafel I anschaulich auf graphischem Wege reproducirt, sowie 

 am Schlüsse dieses ersten Theiles tabellarisch durch analytische Gleichungen zusammen- 

 gefasst. 



Jedes dieser Systeme ist durch die Art und Lage der Symmetrieelemente charakterisirt. 



Jetzt kommen wir zur Lösung derselben Frage auf ganz anderem Wege, indem durch 

 die Symmetrie einer einzelnen Planeinheit und durch die Decktranslationsbewegungen wieder 

 dieselben Systeme reproducirt werden, obgleich es nicht von vornherein ersichtlich ist, ob 

 auch jetzt wir zur erschöpfenden Darstellung derselben Systeme kommen. 



Zu dem Zwecke, für sämnitliche Fälle die Lagerung der Symmetrieelemente erschöpfend 

 darzustellen, müssen wir folgende, längst bewiesene Sätze berücksichtigen:*) 



1. Satz. Existirt eine j)-zählige Symmetrieaxe und eine Deckschiebung ?, so existirt 

 auch eine resultirende zu parallele ^-zählige Axe von solcher Lage, dass sie gleichen 

 Abstand hat von der Axe in der primitiven Lage und in der anderen Lage 1, welche 

 letztere nach der erfolgten Schiebung erhält; dabei bilden die durch die Axe 0' und die 



TZ 



die Axen und 1 gehenden Ebenen einen inneren Winkel 2 — . 



1) Diese Aufgabe wurde in dem IL Theile des S. L. IV behandelt. Da dieser Theil der Zeit 

 nach der Arbeit S. L. III folgte, wo die regelmässigen Punktsysteme im Räume vollständig ausgefühvt 

 und durch algebraische Gleichungen ausgedrückt wurden, so Hess sich diese Aufgabe ausserordentlich ein- 

 fach dadurch auflösen, dass in diesen Gleichungen die erste Coordina.tengrösse gleich Null gesetzt wurde. 



Da aber diese Frage schon früher durch zwei Autoren behandelt wurde, so wurden die Resultate 

 vergleichungsweise in folgender Tabelle dargestellt. Diese Autoren sind C. Jordan (,,Memoires sur 

 les groupes de mouvements" in Brioschi e Cremona Annali di matematica. Ser. II T. II und 

 L. Sohncke („Die regelmässigen ebenen Punktsysteme von unbegrenzter Ausdehnung." Borchardt, 

 Joum. für die reine und ang. Mathematik Bd. 77.) 

 Ebene Punktsysteme 1 2 3 4 5 6 



G. Jordan (1869) 2 27 28 32 86 87 



L. Sohncke (1879) nicht angezeigt XI — — X VI 



^) Die betreffenden Sätze (in der Anzahl 8), sind in S. L. III enthalten. Hier wurde die ana- 

 lytische Methode angewandt. Später wurde dieselbe durch die einfachere Methode der Construction 

 ersetzt (Cursus der Krystallographie 1897, §§ 2 und 3). 



7 



8 9 



10 



11 



12 



13 



14 15 16 17 



53 



115 60 



129 



— 



46 



107 



30 90 88 123 



IV 



VII III 



IX 



II 



I 



VIII 



— XIII XII V 



