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Zusatz. Speciell für die zweizählige Symmetrieaxe haben wir den Fall, dass die 

 resultirende Äxe 0' in der Mitte zwischen und 1 steht, also in der Translationsrichtung 



um eine Hälfte der Decktranslationsstrecke, also — , von derselben entfernt ist. 



2. Satz. Existirt eine Symmetrieebene und eine zu ihr senkrechte Deckschiebung A, 

 so existirt auch eine resultirende parallele Symmetrieebene, die von derselben den Abstand 



— hat. Ist die Deckschiebung nicht die senkrechte, so existirt in der Mitte zwischen zweien 



nächsten Symmetrieebenen eine resultirende Gleitebene; die Richtung und die Grösse der 

 ihr zugehörendön Deckschiebung sind die Richtung der Trace dieser Ebene und resp. die 

 Hälfte der Deckschiebung der Translation in dieser Richtung. 



Auf Grund dieser beiden Sätze sind säramtliche den aufgefundenen Systemen ent- 

 sprechende Punktsysteme bestimmt und durch die Nummer angezeigt. Man sieht, dass aus der 

 Anzahl 17 der früher dargestellten Punktsysteme jetzt 13 derselben reproducirt worden 

 sind, als diejenigen, welche den Systemen I. Ordnung zu Grunde liegen. 



14. Wir haben sämmtliche Systeme I. Ordnung aus zwei Grundsystemen 8 H und 

 13 ni dadurch abgeleitet, dass wir die ihnen zukommenden Symmetriearten durch die unter- 

 geordneten ersetzt hatten. Dabei verschwinden einige Symmetrieelemente; die Form der 

 Einheiten und die Lage der Reihen und Colonnen wird aber dadurch nicht berührt. 



Nun ist zu berücksichtigen, dass es schon längst bewiesen worden, dass die Systeme, 

 je nach ihrer Syngonie, durch homogene Deformationen transformirt werden können, ohne 

 die denselben innewohnende Eigenschaft der regulären Plantheilungen zu verlieren.'') 



^) Dieser Frage über die homogenen Deformationen und der Aufstellung der Sätze über die 

 homogenen Transformationen des Parallelogonsystems wurde in den Arbeiten des Verfassers viele 

 Beachtung geschenkt. Zuerst in E. G. L. wurden denselben die §§ Gl, 62 und 63 gewidmet, und die Sache 

 auf einfachste Weise in constructionellem Wege behandelt. Die allgemeinsten hier bewiesenen Sätze 

 sind die folgenden: Ein Parallelogon, welches einer beliebigen Gesammtheit von Dilatationen und Ver- 

 schiebungen unterworfen worden ist, bleibt als ein solches bestehen (§ 62). Jedes gegebene Parallelo- 

 gramm kann durch Dilatationen und Verschiebungen in jedes andere verwandelt werden (Satz 15). Bei 

 dieser Gelegenheit Hess sich ein neuer Flächensatz aufstellen: Die Flächengrösse eines Parallelogramms 

 ist gleich dem Producte der Länge des von zwei parallelen Seiten des Parallelogramms abgeschnittenen 

 Theiles einer beliebigen Geraden durch die Projectionsgrösse einer zu einem anderen Paar gehörenden 

 Seite auf die zu der Geraden senkrechte Richtung. 



Später wurde dieselbe Frage in A. K. S. I und III ausführlich auf analytischem Wege behandelt, 

 und zwar als eine Frage der Projectivitätslehre. Der Grund der analytischen Behandlung entfliesst aus 

 dem der Arbeit vorgestellten Zwecke — das einfachste System der krystallographischen Berechnungen 

 auszuarbeiten. Obgleich dem vorgestellten Zwecke gemäss die Aufgabe scheinbar die des dreimensionalen 

 Raumes war, reducirt sich aber in der That dieselbe auf eine zweidimensionale und zwar in Folge davon, 

 dass die der Berechnung unterliegenden Raumgebilde eigentlich Ebenen- resp. Geradenbüschel dar- 

 stellen, so dass dieselben mittelst Linearprojection sich eindeutig als zweidimensionale Gebilde bestimmen 

 lassen. In Folge dessen wurde gerade die Aufgabe der allgemeinsten Projectivität auf der Ebene mit 

 ganz besonderer Ausführlichkeit behandelt. 



Der Zweck war in vollkommenster Weise dadurch erreicht, dass man sich zwei Krystallflächen- 

 complexe vorgestellt hatte, einen allgemeiner Art, und den anderen der kubischen Syngonie gehörig, 

 für welchen die einfachsten Berechnungsformeln giltig sind. Der eine Complex wurde durch Linear- 

 und der andere durch gnomonische Projection (also die Linearprojection des polaren Geradenbüschels) 

 dargestellt, und dann die allgemeinsten (linearen) Gleichungen der eindeutigen Projectivität zwischen 



