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Es ist nämlich der Beweis dafür erbracht worden, dass solche Systeme zweierlei Art 

 von Deformationen unterzogen werden können: a) Dilatationen und b) Verschiebungen. 

 Die Deformationen beider Art führen uns aber zu Systemen, deren einzelne Figuren in 

 Bezug auf die Figuren der Grundsysteme wie unter einander überhaupt in derjenigen 

 Beziehung stehen, welche von Möbius als Affinität bezeichnet wurde. 



Die Möglichkeit solcher Deformationen ist, wie erwähnt, durch die Syngonieart bedingt 

 und zwar kann durch folgende Sätze ausgedrückt werden: 



1. Satz. In jeder singulären Richtung kann positive oder negative Dilatation hervor- 

 gebracht werden. 



Werden z. B. in einem Quadrat die Diagonalen desselben die singulären Richtungen 

 (also im Falle der rhombischen Syngonie), so kann dasselbe in einen beliebigen Rhombus ver- 

 wandelt werden, ohne die Grundeigenschaft, reguläre Plantheilung zu sein, zu verlieren. 

 Sind die Richtungen seiner Seiten singulare, so verwandelt es sich daher in ein beliebiges 

 Rechteck. 



2. Satz. Sind alle Richtungen singulär (also der Fall der monoklinen Syngonie), so 

 kann jede derselben als eine Axe der Verschiebung angenommen werden. 



Dadurch kann z. B. ein Quadrat in ein Parallelogramm verwandelt werden mit 

 beliebigen inneren Winkeln ebenso wie mit beliebiger Relation seiner Seiten. Auf Grund 

 dieses Satzes verliert es dabei keineswegs die ihm zukommende Grundeigenschaft, eine 

 reguläre Plantheilung zu bilden. 



3. Satz. Giebt es keine singulare Richtungen, so sind Deformationen unmöglich. 

 Durch diese Sätze erwirbt die oben ausgeführte Ableitung der regulären Plantheilungeu 



I. Ordnung die erwünschte Allgemeinheit. 



15. Jetzt gehen wir einen Schritt weiter und unterziehen unserer Untersuchung die 

 Frage, ob Systeme möglich sind, in welchen die Einheiten verschiedenartig orientirt sind? 

 Ist dies der Fall, so stellt sich die weitere Aufgabe bevor, solche Systeme erschöpfend 

 darzustellen. 



Für solche Systeme, falls sie überhaupt vorhanden sind, kann die Deckoperation als 

 aus den zwei folgenden zusammengesetzt aufgefasst werden: 1. eine Drehung um eine zur 

 Ebene senkrechte (verticale) Ax« und um einen bestimmten Winkel a, und 2. eine einfache 

 Translation. 



Dazu kann noch eine Spiegelung in einer verticalen Symmetrieebene kommen. 



diesen als einem Geraden- und einem Punktsystem auf der Ebene aufgestellt. Daraus Hessen sich auf 

 die einfachste Weise die Formeln zur Berechnung der Krystalle für alle Fälle aufstellen; dadurch wurde 

 das System der krystallographischen Berechnung entwickelt, welches durch die Einfachheit der für die 

 Ausführung der Berechnung nöthigen Operationen alle bisher vorgeschlagenen Systeme weit hinter sich 

 Hess. Dieses System der Berechnungen wurde mit bestem Erfolge sogar bei elementaren Vorträgen 

 der Krystallographie im Berginstitut in St. Petersburg angewendet und in- dem elementaren „Cursus 

 der Krystallographie" (Cap. XI) eingeführt. 



Als Nebenresultat dieser ausführlichen Behandlung sei erwähnt, dass in den Fällen, in welchen 

 die Projectivitätscurve (eines Punktsystems und eines Geradensystems auf der Ebene) eine Ellipse (reelle 

 oder iniaginäre) oder eine Hyperbel ist, sich die beiden correlativen Systeme in polarer Lage (im Sinne 

 Schröter's) aufstellen lassen. In dem Falle der Parabel scheitert aber die Eichtigkeit dieses Satzes, 

 und die beiden correlativen Systeme (mit Ausnahme eines ganz speciellen Falles) lassen sich nicht in 

 polare Lage bringen. 



