479 



Betrachten wir zuerst den Fall ohne hinzukommende Spiegelung. 



Dem bekannten elementaren Satze der Kinematik zufolge kann eine Combination von 

 einer Drehung und einer (senkrechten) Translation als eine einzige Drehung aufgefasst 

 werden, wobei die resultirende Drehaxe eine bestimmte Lage erhält. Somit kann das ganze 

 System als um diese Axe gedreht gedacht werden, und kommt dabei wieder zur Deckung 

 mit seiner primitiven Lage. Ist aber die Coincidenz erfolgt, so kann dieselbe Drehung 

 d. h. die Drehung um dieselbe Axe und um denselben Winkel a unbestimmte Male wieder- 

 holt werden mit demselben Resultate. 



In 

 Daraus ist zu schliessen, dass der Drehungswinkel durch den Ausdruck — bestimmt 



werden kann, wo 'p eine ganze Zahl ist; der Definition gemäss ist also diese Drehaxe nichts 

 anderes als die Symmetrieaxe. Dadurch kommen wir zum Schlüsse, dass die allgemeinste 

 congruente Deckoperation eines ebenen Systems eine Drehung um eine Sym- 

 metrieaxe ist. 



Der elementare Drehungswinkel a kann nicht unendlich klein sein, da wir sonst für 

 eine endliche Deckbewegung die resultirende Drehaxe unendlich weit entfernt gefunden 

 hätten, und dann wäre diese Deckbewegung einfach als Decktranslation zu deuten. 



Es sind aber zwei wesentlich verschiedene Fälle zu unterscheiden: entweder a) fällt 

 die resultirende Symmetrieaxe in das Innere einer Einheit, oder b) sie fällt in einen Punkt 

 der Peripherie derselben Einheit. 



Im ersten Falle ist die Einheit selbst eine symmetrische, und die Symmetrieaxe werden 

 wir als eine explicite bezeichnen. In dem zweiten Falle ist dieselbe als ein Element der 

 Symmetrie des Verbandes (einfacher Verbandssymmetrie) aufzufassen. 



16, Wenn zu diesen Operationen noch die Spiegelung hinzukommt, so ist nur der 

 folgende Satz zu berücksichtigen : ') - Das aus einer j?-zähligen Symmetrieaxe und einer durch 

 dieselbe hindurchgehenden Symmetrieebene resultirende Symmetrieelement ist die Symmetrie- 

 ebene, welche mit der gesehenen einen inneren Winkel ;r— = — bildet. 



Auf Grund dieses Satzes können wir schliessen, dass, wenn eine Spiegelung als Deck- 

 operation auftritt, allein die Lage der resultirenden Symmetrieebene in Betracht zu ziehen 

 und auf den Satz 2 § 13 Rücksicht zu nehmen ist. 



Auch jetzt kann die Symmetrieebene explicit auftreten, und dann ist die Einheit 

 selbst symmetrisch , oder dieselbe wird als solche oder als Gleitebene zum Element der 

 Verbandssymmetrie. 



17. Da die Anzahl der möglichen Orientirungen der Einheiten eine endliche ist, so 

 müssen unter denselben auch gleichorientirte vorkommen. 



Nehmen wir eine solche, z. B. die nächstliegende in Betracht, so finden wir, dass 

 dadurch schon eine unendliche congruente Reihe bestimmt wird mit bestimmter Richtung 



1) Da in den hier in Betracht kommenden Systemen die Einheiten nicht gleich orientirt sind, 

 sind dieselben keine Parallelogone im strengen Sinne des Wortes. Als solche können nur deren zu- 

 sammenhängende Gruppen betrachtet werden, in welchen jede Einheit von besonderer Orientirung ver- 

 treten ist. Solche durch Verbands-Symmetrieelemente die Parallelogone bestimmenden Figuren pflegt 

 man Planigone zu bezeichnen. Ein hierzu gehörendes Planigon entspricht dieser Form nach dem 

 einfachen Parallelogon der Systeme I. Ordnung. 



