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und Strecke, und dann folgt von selbst, dass die Gesammtheit gleich orientirter Einheiten 

 ein Netz bildet; also können wir die für die Systeme I. Ordnung gefassten Schlüsse darauf 

 anwenden und finden, dass solche Systeme nur mit denselben zehn Syrametriearten verträg- 

 lich sind, welche sich ihrerseits in vier Syngoniearten gruppiren. 



Wenn -die gegebene Einheit nicht von vornherein ein Parallelogon (primäres oder 

 secundäres) ist, so können wir wenigstens eine Anzahl derselben zu einem solchen sich grup- 

 piren lassen. Die Frage besteht eigentlich darin, ob in dem Innern der Einheit ein Punkt 

 vorhanden ist, dessen analoge Punkte in ihrer Gesammtheit ein ebenes Netz bilden. Solche 

 Punkte werden Hauptpunkte genannt. 



Ist ein solcher Punkt vorhanden, so wollen wir denselben für das Centrum eines 

 primären' Parallelogons annehmen, welches explicit mit allen Arten der Symmetrieelemente 

 versehen ist, die überhaupt in dem System auftreten. Dann werden alle Deckbewegungen 

 der gegebenen Einheit mit den anliegenden zu einfachen Decktranslationen, und das System 

 selbst zu solchem I. Ordnung. Bei dieser Transformation der Einheit wird in der Deck- 

 operation nichts geändert; die transformirte Einheit bleibt mit der gegebenen gleichflächig 

 und ist also die gegebene ein secundäres Parallelogon. 



Giebt es keinen solchen Punkt in dem Inneren der Einheit, so muss noth wendiger 

 Weise ein solcher an der Peripherie derselben vorhanden sein. Dies lässt sich einfach 

 dadurch beweisen, dass die Fusspunkte sämmtlicher Symmetrieaxen nothwendig ein ebenes 

 Netz bilden. 



Es ist also nur der Fall zu besprechen, in welchem keine Symmetrieaxen vorhanden 

 sind. Dann fehlen die Symmetrieelemente überhaupt (das System ist noth wendiger Weise 

 I. Ordnung) oder es treten ausschliesslich parallele Symmetrie- resp. Gleitebenen auf. 



Aber auch dieser Fall ist augenscheinlich kein Ausnahmefall, da auch jetzt Haupt- 

 punkte vorhanden sind, und zwar ist ein jeder Punkt, welcher in der Symmetrie- resp. in 

 der Gleitebene oder in der Mittellinie zwischen zwei nächsten Tracen solcher Ebenen liegt, 

 ein Hauptpunkt. 



18. Das Resultat aller dieser Betrachtungen ist, dass man zu einer erschöpfenden 

 Darstellung aller typischen Systeme kommt, wenn man alle Symmetriearten eine nach der 

 anderen berücksichtigt, und für jede derselben zum Ausgangspunkt die dazu gehörenden Typen 

 der Parallelogone I. Ordnung auswählt, aber denselben eine geringere explicite Symmetrie 

 zuerkennt, und zwar alle diejenigen Symmetriearten, welche der gegebenen untergeordnet 

 sind, und die frei bleibenden Symmetrieelemente als Elemente der Verbandssymmetrie auffasst. 



Die Symmetriegrösse wird dann aus zwei Factoren zusammengesetzt: der Symmetrie- 

 grösse der expliciten und derjenigen der Verbandssymmetrie, und deren Product stellt also 

 die Symmetriegrösse des ganzen Systems dar. 



Die Symmetriegrösse der Verbandssymmetrie ist dann der Anzahl der Orientirungen 

 der Einheiten des Systems gleich. Im besonderen Falle der asymmetrischen Einheiten ist 

 somit diese Anzahl die Symmetriegrösse des ganzen Systems. 



19. Jedes System der Planeinheiten kann seiner Definition gemäss durch das Pa- 

 rallelogon und dessen Orientirungen in den anliegenden Einheiten eindeutig und streng bestimmt 

 werden. Ist das Parallelogon asymmetrisch, so kann die Orientirung der anliegenden Ein- 

 heiten durch eine einzige Operation bestimmt werden, und zwar entweder a) durch ein- 



