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fache Translation oder b) durch ein Element der Verbandssymmetrie. Die letzte Operation 

 kann durch eine einzige charakteristische Zahl angegeben werden, und zwar auf derjenigen 

 Grenzlinie, in Bezug auf welche die anliegende Kaumeinheit die angezeigte Orientirung 

 besitzt. Die Angabe der einfachen Translation kann einfach durch die Abwesenheit einer 

 solchen charakteristischen Zahl angezeigt werden. 



Sind die Einheiten symmetrisch und ist ihre explicite Symmetriegrösse s, so kann 

 dieselbe, wie auch sämmtliche andere Einheiten des Systems, als solche angesehen werden, 

 Avelche zugleich s verschiedene Orientirungen besitzen. Somit sind auch die charakteristischen 

 Zahlen für jede Grenzlinie in der Anzahl s vorhanden. Für die Translation bleibt natürlich 

 die Abwesenheit dieser Zahlen bestehen. 



Die Systeme wollen wir in solche von verschiedenen Ordnungen gruppiren, je nach 

 der Anzahl der verschiedenen Orientirungen der Einheiten, also nach der Symmetriegrösse 

 der Verbandssymmetrie, d. h. die Anzahl der Orientirungen und zugleich die Ordnung des 

 Systems durch die Division der Symmetriegrösse des ganzen Systems durch diejenige der 

 expliciten Symmetrie erhalten. 



20. Bei der erschöpfenden Darstellung der Systeme IL und höherer Ordnung wollen 

 wir der Ordnungsreihe folgen und dabei zuerst die Diparallelogon- und dann die Tri- 

 parallelogonsysteme aufsuchen. 



Jedes Mal beginnen wir mit der vollständigen Darstellung der Ableitungsformen 

 der Systeme d. h. den Formen der für jeden Fall möglichen Vertheilungen der gleich 

 orientirten Einheiten des Systems. Diese Darstellung wird erschöpft, wenn man in der 

 Reihe der absoluten Entfernung verschiedene Einheiten als die nächstliegenden gleich 

 orientirten ansieht. 



Jede solche Annahme giebt uns sofort eine bestimmte Reihe mit der ihr zugeordneten 

 Richtung und Strecke. Ist diese Richtung keine singulare, so erhalten wir sofort wenigstens 

 zwei gleiche Reihen in verschiedenen Richtungen, und das Netz der gleich orientirten Raum- 

 einheiten, also auch die Ableitungsforra, ist bestimmt. 



Ist diese Richtung singuIär, so führt diese Annahme nur zur Bestimmung einer 

 einzigen Reihe, und dann steht noch bevor, eine andere Annahme beizufügen. Die Anzahl 

 der zulässigen Annahmen, folglich auch die Anzahl der zulässigen Ableitungsformen, wird 

 in diesem Falle grösser. 



Daraus ist zu schliessen: a) dass die Aufsuchung der Ableitungsforraen eine 

 Frage der Syngonie und nicht der Symmetrie ist, und b) dass die Ableitungs- 

 formen der höheren Syngoniearten für jeden Parallelogontypus und jede 

 gegebene Ordnungszahl des Systems unter denjenigen der niederen Syngonie- 

 arten stehen. 



Also die Ableitungsformen der rhombischen Syngonie sind in denen der monoklinen, 

 und die Ableitungsformen der tetragonalen und hexagonalen Syngonie in denen der rhom- 

 bischen Syngonie enthalten. 



21. Ist eine Ableitungsform ermittelt worden, so werden dadurch bestimmte Relationen 

 in der Orientirung verschiedener Einheiten bedingt. Dabei sind aber auch individuelle 

 Eigenschaften der aufzutretenden Symmetrieelemente in Betracht zu ziehen. Diese Eigen- 

 schaften lassen sich auf Grund der Sätze § 13 entwickeln. 



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