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Wir wollen die Systeme dieser Art durch Beigabe des Buchstaben c besonders 

 anmerken. 



24. Zwei Colonuen I. Ordnung aber verschiedener Richtung bedingen das ganze System 

 I. Ordnung. 



Es bleibt uns also den Fall zu besprechen, in welchem keine anliegende Einheit mit 

 der gegebenen durch Translation verbunden ist. 



Nun unterscheiden wir folgende wichtigste Unterfälle: 



a) Die entgegengesetzten parallelen Grenzlinien sind immer durch dieselben charak- 

 teristischen Zahlen besetzt. In den Systemen dieses Typus sind sämmtliche Colonnen solche 

 IL Ordnung. 



Als peripherische Symmetrieelemente können zwei- und vierzählige Symmetrieaxen 

 auftreten; für die letzteren werden alle vier Grenzlinien besetzt und das System eindeutig 

 bestimmt. 



Die dreizählige Symmetrieaxe kann aber als peripherische nicht auftreten, da für 

 diese Systeme das Vorhandensein einer solchen Axe schon genügend zur Bestimmung des 

 Systems wäre, welches dabei III. Ordnung sein müsste, während solche Systeme nur II. oder 

 mehrfacher Ordnung sein können. 



Als centrale können hier Gleitebenen auftreten. Tritt aber eine Gleitebene schneidend 

 dazu, so lässt sich dadurch ein einziges System bestimmen. 



Die Wichtigkeit der Abgliederung der Systeme dieser Art besteht darin, dass den- 

 selben eine einfachere Bestimmung durch charakteristische Zahlen zukommt, indem man nur 

 zwei Zahlen aufstellt und von den den entgegengesetzten Grenzlinien angehörenden Zahlen 

 absieht. 



Diese Systeme wollen wir als phanerotopische bezeichnen, in Anbetracht 

 dessen, dass für dieselben durch die charakteristischen Zahlen sämmtliche Colonnen aus- 

 drücklich bestimmt werden, und dabei keine centralen Symmetrieelemente in versteckter 

 Form auftreten. 



25. In dem Unterfalle b) sind die beiden charakteristischen Zahlen einer Colonne für 

 die durch gegebene abgetrennte Einheiten nicht sämmtlich dieselben. Nehmen wir eine 

 Colonne heraus, so finden wir, dass die gegebene Einheit mit den anliegenden und nur mit 

 diesen ausdrücklich durch ein gewisses Element der Verbandssymmetrie verbunden ist; für 

 die folgenden Einheiten ist das entsprechende Element in versteckter Form enthalten 

 und ist erst auf Grund der speci eilen Sätze zu ermitteln. In Folge dessen wollen wir die 

 Systeme dieser Art als kryptotopische bezeichnen. 



Hiei'zu gehören auch die Colonnensysteme von höherer als IL Ordnung; ferner die 

 Systeme mit peripherischen dreizähligen Symmetrieaxen. 



In diesen Systemen können auch centrale Gleitebenen in versteckter Form auf- 

 treten, und zwar dann, wenn unter zwei entgegengesetzten charakteristischen Zahlen eine 

 die zweizählige Symmetrieaxe und die andere die Symmetrieebene ausdrückt. 



Speciell für solche Systeme ist der folgende Satz giltig: 



Ist in einer Colonne die gegebene Einheit mit der nicht anliegenden durch 

 eine centrale Gleitebene singulärer Richtung kryptotopisch verbunden, so 

 ist die zu ihr senkrechte Colonne höchstens IL Ordnung; ist eine solche 



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