



c 



— f— ] 



J 



1 





k 



' — 1 — ' 



L 



a. 



f 



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Colonne überhaupt nicht vorhanden, so sind die zu der gegebenen Colonne 

 serTlcrechten Reihen I. Ordnung. 



Es sei die in der Fig. 3 punktirt angegebene centrale krypto- 

 topische Gleitebene ahc vorhanden; da dieselbe singulär vorausgesetzt 

 wird, so sind, ebensolche centrale Gleitebenen in sämmtlichen Einboiten 

 des Systems vorhanden. Es sei d eine der gegebenen Einheit a an- 

 liegende Einheit. Nach der erfolgten Gleitung an der Ebene ah c wird 

 d in die Lage e kommen, wobei e die der c anliegende Einheit ist. 

 Unterwerfen wir die Einheit e der Gleitung in der entgegengesetzten ^^g 3 



Richtung, indem wir dabei für die Gleitebene die Centrale in Bezug auf 

 sie selbst' annehmen, so kommt dieselbe in die Lage /", wird also zugleich zur anliegenden 

 in Bezug auf a, gehört derselben Colonne daf wie d an, ist aber mit d gleich orientirt. 

 Folglich ist die Colonne daf IL Ordnung. 



Falls aber die Einheiten d und /' nicht einer und derselben zu ah c senkrechten 

 Colonne angehören, so bedingen sie doch die zu ahc senkrechte Reihe L Ordnung. 



Die Zugehörigkeit zu kryptotopischen Systemen wird durch die Beigabe zweier 

 charakteristischer Zahlen erwiesen. 



2(5. In dem eben besprochenen Falle der kryptotopischen Colonne ahc können die 

 zu d oder f zugehörenden charakteristischen Zahlen keineswegs mit einer der beiden der 

 Colonne ahc zugehörenden Zahlen identisch sein, da, auf diese Annahme fassend, wir zwei 

 Reihen L Ordnung erhalten hätten, etwa die Reihen bd und hf, und dann wäre die Colonne 

 ahc IL Ordnung gewesen. Sie können aber mit der der Einheit c entsprechenden Zahl 

 identisch sein. 



In diesem besonderen Falle kann die Einheit selbst kein Symmetrieelement explicit 

 enthalten. Auch die Auswahl der Elemente der Verbandssymmetrie für d und f ist in hohem 

 Grade beschränkt. 



27. Wenn die PJinheit die explicite Symmetrie enthält, so sind zwei verschiedene 

 Fälle zu unterscheiden. 



Entweder a) ist diese Symmetrie der Verbandssymmetrie untergeordnet. Dies ist z. B. 

 der Fall, wenn die Einheit zweizählige Symmetrieaxen besitzt, und dabei unter den 

 Elementen der Verbandssymmetrie vierzählige Symmetrieaxen vorkommen. 



Ist dies der Fall, so wird die Ordnung um so viele Male im Vergleiche mit den 

 analogen, deren Einheiten asymmetrisch .sind, niedriger, als die Zahl der expliciten 

 Symmetriegrösse beträgt. 



Oder b) sind die Elemente der expliciten Symmetrie von denjenigen der Verbands- 

 symmetrie unabhängig. In diesem Falle bleibt die Ordnung dieselbe. Solche Systeme 

 lassen sich also aus den asymmetrischen durch einfache Einschaltung der betreffenden 

 Symmetrieelemente ableiten. 



Es ist aber stets bei dieser Einschaltung zu berücksichtigen, ob die Lagerung der 

 Elemente der Verbandssymmetrie solche Einschaltung zulässt. 



28. Jetzt verfolgen wir den Gang der Darstellung der in der Tabelle I zusammen- 

 gestellten Systeme. 



Diese Tabelle ist in acht Colonnen getheilt; in der 1. Colonne ist die Ableitungsform, 

 in der 2. die Symmetrieart durch Nummern ausgedrückt, in der 3. die Symmetriegrösse des 



