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Was die Systeme IV. Ordnung betrifft, so sind die der 4. und 5. Symmetrieart 

 zugehörendeu Einheiten asyrametriscli, und bei der Berücksichtigung der möglichen Combi- 

 nationen der Elemente der Verbandssymmetrie in erster Linie die leitenden Gesichtspunkte 

 der Lehre von der scheinbaren Symmetrie (§ 11) zu berücksichtigen, damit ein und dasselbe 

 System nicht für verschiedene anzunehmen ist. 



Derselbe Zweck kann aber dadurch erreicht werden, dass man sich direct von der 

 Verschiedenheit der durch dasselbe Symbol auszudrückenden Systeme wie 16 (1 II5) und 

 16 (1 II5)' genaue Rechenschaft giebt. Für diese Systeme ist z. B. die Verschiedenheit 

 ganz augenscheinlich, indem für das erste eine zweizählige Symmetrieaxe und eine centrale 

 Gleitebene, für das zweite zwei centrale Gleitebenen als Elemente der Verbandssymmetrie 

 auftreten. 



Was endlich die Systeme VIII. Ordnung betrifft, so ist das Vorhandensein der untrenn- 

 baren charakteristischen Zahlen 3 7 ganz augenscheinlich, und umgekehrt sind die charak- 

 teristischen Zahlen 4 und 8 ausgeschlossen , da deren Anwesenheit die Gleichheit einiger 

 Zahlen als nothwendige Folge gehabt haben würde, was auf Grund der Ableitungsform 

 unzulässig ist. Somit liisst sich ein einziges hierzu gehörendes System ableiten. 



33. Für Triparallelogonsysteme IL Ordnung liegt nun eine einzige Ableitungsform 

 zu Grunde, da jetzt die Formen a;l und a\a nicht mehr verschieden sind. Diese Systeme 

 sind die Colonnensysteme. Solche Systeme sind aber für hexagonale Syngonie unmöglich 

 (§ 23). Was aber die Systeme der monoklinen und rhombischen Syngonie betrifft, so 

 stehen dieselben den Systemen der Diparallelogone, und speciell die der rhombischen Syngonie 

 jenen der Typen 4 II und 6 II so nahe, dass die hierzu gehörende Ableitung fast als reine 

 Wiederholung desselben aufzufassen wäre. 



Ganz besondere Verhältnisse treffen wir aber für die Systeme der hexagonalen Syngonie, 

 für welche allein die Systeme III. Ordnung möglich sind mit alleiniger Ableitungsform 



?.;«(Fig.lO). 



Fig. 10. 



Fig. II 



Die allein noch zulässige Ableitungsform ah (Fig. 11), welcher die phanerotopischen 

 Systeme IV. Ordnung entsprechen würden, wird aber in den wirklichen Systemen weder 

 für rhombische noch für hexagonale Syngonie vertreten , und zwar aus demselben Grunde, 

 wie die Systeme a h der Diparallelogone, in welchen die singalären Richtungen die diagonalen 

 sind (§ 30), d. h. dass die dazu nöthigen Symmetrieelemente nicht zur Disposition stehen. 



Dadurch ist die aufgestellte Aufgabe dieses I. Theiles in erschöpfender Weise gelöst. 



