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heit solcher Grenzflächen, welche wir als eine secundäre Zone bezeichnen wollen, ist also 

 einer Schichtebene zugeordnet. 



Nun ist leicht der Beweis zu erbringen, dass nicht sämmtliche Zonen sechsflächig sein 

 können, dass also nothwendig auch vierfläehige vorhanden sind. 



Denken wir durch einen Punkt, als Centrum einer Sphäre aufgefasst. Gerade in 

 allen Colonnenrichtungen gezogen. Die Schnittpunkte dieser Geraden mit der Sphäre seien 

 als Berührungspunkte der Grenzebenen eines typischen Polyeders angenommen.^) 



Für dasselbe gilt die Relation 



{f-\)f=\.2-p,+2.?>p,-\- ... + {n-\)n'p,, A) 



wo /' die Anzahl der (ebenen) Flächenpaare und pm die Anzahl der 2«K-flächigen primären 

 oder secnndären Zonen bezeichnet. 



Jetzt denken wir uns ein diesem Polyederpolar zugeordnetes Zonoeder in der Weise 

 construirt, dass man die zu seinen Flächen senkrechten Geraden als die Zonenaxen annimmt, 

 oder was dasselbe ist, die Flächenpole der ersten als die Pole der Grosskreise auf der 

 Sphäre nimmt, und dann alle Schnittpunkte sämmtlicher so gezogener Grosskreise auf der 

 Sphäre als die Flächenpole eines neuen Polyeders nimmt. 



Dieses Zonoeder, d. h. ein von lauter primären Zonen umgürtetes Polyeder, ist mit 

 dem Paarflächner durch folgende Relationen verbunden: a) die Anzahl der primären Zonen 

 des Zonoeders ist der Anzahl der Flächenpaare des Paarflächners gleich, b) die Zähligkeit 

 der Flächen der ersten ist der Zähligkeit der primären und secundären zugeordneten Zonen 

 der letzteren gleich. 



Für jedes Zonoeder gilt aber die Relation 



(2;-l)29 = 1.2./, + 2. 3-/-3 + ... + (n- !)«/■„ B) 



wo p die Anzahl der primären Zonen, und fm die Anzahl der 2 m-zähligen Flächen bedeutet. 



Wären in dem ersteren sämmtliche Zonen 6-flächige gewesen, so würden in dem 

 letzteren sämmtliche Flächen 6-flächig sein, was aber unmöglich ist.'^) 



') Der Begriff des typischen Polyeders wurde ebenfalls in E. G. L. eingeführt und spielt daselbst, 

 wie in allen folgenden hierzu gehörenden Arbeiten des Verfassers, die Rolle eines Grundbegriffs, auf 

 welchem die Theorie der Polyeder überhaupt und besonders deren Classification ihre Basis findet. Das- 

 selbe wird als ein besonderes typisches Glied einer unendlichen Gesammtheit der Polyeder aiifgefasst, 

 welche das gemein haben, dass die ihnen zugehörenden Grenzebenen sämmtlich parallel sind (resp. parallel 

 aufgestellt werden können) und dabei natürlich die Anzahl dieser Grenzebenen dieselbe ist. Diese 

 Gesammtheit wird als eine Polyeder speci es aufgefasst, also ein Grundglied der Classification, welche 

 daselbst und in anderen Arbeiten weiter entwickelt wurde. Ein dem typischen Polyeder polar zugeordnetes 

 wurde als subtypisches bezeichnet. Die betreffenden Relationen wurden ziemlich ausführlich in E.G. L. 

 § 20 — 22 besprochen (übrigens findet man eine analoge Besprechung in manchen der neueren Geometrie 

 angehörenden Werken). In erster Linie war stets ein Polyeder aufgestellt, in dessen Eckpunkten immer 

 je drei Grenzebenen zusammentreffen. Solche Polyeder wurden als theoretische bezeichnet, und alle 

 anderen, die particulären, als solche aufgefasst, von denen einige Kanten unendlich klein geworden 

 sind. {Dieselbe Auffassung finden wir viel später bei H. Eberhardt.) 



2) Dieser Satz findet sich noch in Legendre, Clements de Geometrie (z.B. 15 ed., 1862, p. 307). 

 Später wurde er zu wiederholten Malen reproducirt (u. A. auch in E. G. L. § 24, wo auch geschichtliche 

 Angaben anzutreffen sind). 



