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8. Nehmen wir ein Flächenpaar in Betracht. Jedes andere Paar bestimmt eine 

 primäre oder secundäre Zone. In der Anzahl /' — 1 ist jede 4-flächige Zone ein Mal, 

 jede 6-flächige Zone 2 Mal..., jede 2 wa-flächige Zone m — 1 Mal enthalten. Also 



Summiren wir diese Relation in Bezug auf sämmtliche Flächen und berücksichtigen, 

 dass in dieser Summe ein Glied (m — 1)^,» m Male wiederholt wird, so erhalten wir 

 endgültig 



(/- 1) /= 1.2. p, + 2.3.p, + ... + (n-l)npn. C) 



Der Form nach ist diese Relation mit der Relation A) identisch. Die Relation A) 

 wurde aber bis jetzt ausschliesslich für die Polyeder (als durch Ebenen begrenzte Körper) 

 bewiesen. Jetzt gilt aber dieselbe Relation C) für beliebige Raumfiguren mit der einzigen 

 Beschränkung, dass dieselben continuirliche Paarflächner sind, mit welchen wir es jetzt zu 

 thun haben. 



9. Jetzt sind aber die Zonen höchstens 6-flächig (§ 6). Da aber auch 4-flächige 

 Zonen nothwendig vorhanden sind, so können wir eine Schichtebene auswählen, welche 

 dieser Bedingung entspricht d. h. deren Colonnen zu zwei sich in einer Einheit schneiden. 



Auf Grund dessen, dass eine Einheit in der Richtung einer Colonne nicht mehr als 

 zwei anliegende Einheiten hat, sind nur folgende Annahmen zulässig: 



1) Die gegebene Einheit hat mit den Einheiten der in Betracht gezogenen anliegenden 

 Schichteinheiten nur eine einzige zur anliegenden. Dann ist sie durch drei Flächenpaare 

 begrenzt, welche drei 4-flächige Zonen bilden (in der Relation C ist /"== 3, p^ = 3, p^^O). 

 Solche Raumeinheiten werden Triparalleloeder genannt. 



2) Eine Colonne der anliegenden Schicht ist in Bezug auf die Colonnen der ersten 

 Schicht nur mit einer einzigen anliegend. Jede Einheit derselben ist aber zweien Einheiten 

 anliegend. In diesem Falle ist nur eine einzige Zone 6-flächig. Also / = 4, l^2^^^i Ps"^^^- 

 Solche Raumeinheiten werden Tetraparalleloeder genannt. 



3) Es bleibt nur noch eine einzige Annahme übrig; jede Colonne der anliegenden 

 Schicht ist in Bezug auf zwei anliegende Colonnen der gegebenen Schicht anliegend und 

 dabei besitzt jede Einheit jeder Colonne zwei anliegende Einheiten in den anliegenden 

 Colonnen. 



Hier sind aber zwei Fälle zu unterscheiden : eine gegebene Schicht ist nur in Bezug 

 auf ein Paar ihr paralleler Schichten anliegend, oder dies ist für zwei Paare der Fall. 

 Dies hängt davon ab, ob Colonnen in einer Richtung vorhanden sind, deren einzelne 

 Einheiten zu anliegenden, in der Richtung der Colonne, je eine Einheit erster und eine 

 Einheit zweiter Schicht besitzen, oder dies nicht der Fall ist. 



In dem ersten Falle haben wir /'^= 6, ^Jg = 3, p^ = 4. 

 Solche Raumeinheiten werden Hexaparalleloeder genannt. 

 In dem zweiten Falle haben wir /'= 7, p.^ = 3, p^ = 6. 

 Solche Raumeinheiten werden Heptaparalleloeder genannt. 



