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Es ist schon längst bewiesen worden, dass unter den hierzu gehörenden Raumfiguren 

 auch solche mit Ebenen begrenzte vorkommen, welche, als die einfachsten, wir als Typen 

 auffassen können^). Diese Polyeder sind in den Figuren 12 — 15 abgebildet. 



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Fig. 12. 



Fig. 13. 



Fig. 14. 



Fig. 15. 



Auch jetzt sind diese Paralleloedertypen als die primären aufzufassen, da alle andern, 

 als Varietäten, von diesen dadurch secundär gebildet gedacht werden können, dass man 

 die Grrenzebenen durch beliebig andere Flächen ersetzt, mit der Beschränkung, dass dabei 

 die neu construirten gleichen und parallelen Flächen nicht einander schneiden dürfen, da 

 sonst keine continuirliche Eaumfiguren entstünden. 



9. Weitere Beschränkung führt die Symmetrie mit sich. Es genügt das Vorhanden- 

 sein einer 2-zähligen Axe der zusammengesetzten Symmetrie (Inversionscentrum), um die 

 Möglichkeit der krummen Flächen zu beseitigen*). Die Symmetrie kann aber viel höher sein. 



Die Möglichkeit der Symmetrieebenen ist augenscheinlich. 



Die Möglichkeit gewisser Symmetrieaxen hängt aber von der Vertheilung der Colonnen, 

 respective von der Zähligkeit der Zonen ab. In dieser Beziehung sind die Paralleloeder in 

 zwei Gruppen zu sondern. Der ersten Gruppe gehören das Tri-, Hexa- und Heptaparalleloeder 

 an, welche das Vorkommen der 4-zähligen und nicht mehrzähligen Symmetrieaxe zulassen. 

 Die höchste allen drei zukommende Symmetrieart ist die (hexakis-) oktaedrische mit der 

 Symmetriegrösse 48. Der zweiten Gruppe gehört allein das Tetraparalleloeder an, für 

 welche als höchste die 6-zählige Symmetrieaxe zulässig ist. Die höchste ihm zukommende 

 Symmetrieart ist die dihexagonal-bipyraraidale mit der Symmetriegrösse 24. 



Es versteht sich von selbst, dass den bezüglichen Paralleloedern auch sämmtliche 

 andere Symmetriearten zukommen, welche in Bezug auf diese höchste untergeordnet sind. 



10. Die Aufgabe der Aufsuchung sämmtlicher hierzu gehörender Symmetriearten 

 gehört der reinen Symmetrielehre an und ist schon längst erschöpfend aufgelöst. Es sind 

 dies die 32 Symmetriearten der Krystallographie^), welche jetzt auch in elementaren Lehr- 

 büchern dieser Wissenschaft dargestellt werden. 



1) Diese Ableitung wurde vom Verfasser noch in dem Ende der siebziger Jahre ausgeführt. Gerade 

 darauf fussend wurde die specielle Theorie der Krystallstructur des Verfassers entwickelt und auf dem 

 Wege der directen Erfahrung geprüft. Diese Entwicklung fand im Beginn der achtziger Jahre statt und 

 ist in einer Reihe von Vorträgen in der k. mineralogischen Gesellschaft zu St. Petersburg dargelegt 

 (Verhandlungen der k. mineralog. Gesellschaft zu St. Petersburg, Bd. 17 S. 381, Bd. 18 S. 281 und 282). 



^) Der Beweis dieses Satzes war zuerst nicht explicit angegeben, sondern er steckt in den 

 Sätzen § 76 E. G. L. 



^) Die vollständige Aufstellung der Symmetrieelemente wurde in S. L. II in der Einleitung und 

 Abb. d. II. Gl. d. k. Ak. d. Wiss. XX. Bd. IL Abth. 64 



