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Hier können wir uns mit der Darstellung der Resultate begnügen. 



Der Syrametriegrösse 48 entsprechend wird die Sphäre in 48 sphärische Dreiecke 



getheilt (Fig. 16). Wollen wir dieselbe sämmtlich enumeriren, so wird jede solche Zahl 



als eine charakteristische ein bestimmtes Symmetrieelement darstellen. 



Der Einfachheit wegen wollen wir zuerst von der An- 

 wesenheit der 3-zähligen Symmetrieaxen absehen. Dann er- 

 halten wir als Symnietriegrösse 16, welche der ditetragonal- 

 bipyramidalen Symmetrieart entspricht. Die zur oberen Hälfte 

 bezüglichen Zahlen 1 — 8 behalten als Ausdrücke der Symmetrie- 

 elemente dieselbe Bedeutung, welche diese Zahlen für die ebenen 

 Figuren besassen; 1' wird jetzt horizontale Symmetrieebene aus- 

 drücken, 2', 4', 6' und 8' drücken horizontale 2-zählige Sym- 

 metrieaxen verschiedener Lage, 3' und 7' drücken 4-zählige 

 zusammengesetzte Symmetrie aus und sind von einander nicht 



zu trennen, da sie einem und demselben Symmetrieelement angehören. Endlich 5' drückt 



das Inversionscentrum aus. 



Fig. 16. 



zwar auf Grund der Sätze der Kinematik ausgeführt*). Dabei wurde aber die zusammengesetzte Sym- 

 metrie nicht umständlich genug besprochen, und jetzt soll diese Lücke ausgefüllt werden. 



Denken wir uns eine endliche Figur, die Symmetriegrösse 4p und dabei die p-zählige Symmetrie- 

 axe besitzend, wo |J eine sehr grosse ganze Zahl ist. Die Anzahl der gleichwerthigen Richtungen können 



wir dann durch eine Zahlenreihe 



12 3... (2p— 1) 2p 



, darstellen. 



1'2'3'... (2p-lY{2py 



Jede besondere Zahl dieser Reihe drückt ein besonderes Symmetrieelement aus. Nun wollen wir 

 uns jetzt genaue Rechenschaft über die Bedeutung dieser sämmtlichen Zahlen geben. 



Die Reihen 2 4 6 . . . (2p — 2) (2p) und 2' 4' 6' . . . (2p— 2)' (2/^)' erhalten sehr einfache Deutung. 

 Jede Zahl, einzeln genommen, drückt eine bestimmte verticale Symmetrieebene resp. eine horizontale 

 2-zählige Symmetrieaxe aus. Die Zahl 3 drückt aber eine p-zählige Symmetrieaxe aus und ist desshalb 

 mit der Reihe 5 7... untrennbar verbunden. Ueberhaupt drücken die ungeraden Zahlen 357... Sym- 

 metrieaxen aus, deren Zähligkeit leicht zu ermitteln ist: z. B. die Zahl 5 tritt als ein untrennbares Glied 



der Reihe 1 59 (13) . . . auf und dx-ückt, wenn p eine gerade Zahl ist, eine --zählige Symmetrieaxe aus; 



analog erhalten wir für die Zahl 7. eine Reihe 1 7 (1 3) (1 9) . . ., und sie drückt, wenn die Zahl p durch 3 



theilbar ist, die - -zählige Symmetrieaxe aus. 



o 



Für die ungeraden Zahlen der Reihe 1', 3', 5', 7'. . . erhalten wir eine andere Deutung. 

 Der Reihe nach bedingen die Zahlen 3', 5', 7'... folgende Zahlenreihen: a) 13' 5 7'... b) 15' 9 (13'}... 

 c) 1 7' (13) (1 9')... u. s. f. 



Nehmen wir, den Principien der Symmetrielehre folgend, für p eine gerade Zahl, so drückt die 



p 

 Reihe a) die p-zählige Axe der zusammengesetzten Symmetrie, welche zugleich --zählige Symmetrieaxe 



ist, was daraus zu ersehen ist, dass dieser Reihe die Reihe 15 9... untergeordnet ist. Für die Reihe b) 



p 

 ist dies nur dann der Fall, wenn p durch 4 theilbar ist, und dann drückt diese Reihe die --zählige 



Axe der zusammengesetzten Symmetrie aus und zugleich die - -zählige Symmetrieaxe. Ein ganz analoges 



Resultat erhalten wir für die Reihe c), wenn p durch 6 theilbar ist u. s. f. 



Wenn aber für die Reihe b) p durch 4, für die Reihe c) p durch 6 nicht theilbar ist, so nehmen 

 diese Reihen die Form 11' 5 5' 7 7'. . . oder sogar die Form 1 1' 3 3' 5 5'. . . an. Hier sind also solche Zahlen 



*) Noch früher und zwar auf ganz elementarem Wege wurde die vollständige Auffindung sämmt- 

 lich er Symmetriearten des dreidimensionalen Raumes in E. G. L. ausgeführt. Diese Auffindung stützte 

 sich auf das vorläufige Auffinden sämmtlicher typischer Isoeder, wozu besondere Formeln gegeben 

 wm-den (§ 25). . " , 



