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Jetzt führen wir eine 3-zählige Symmetrieaxe von bestimmter Lage ein, und diejenigen 

 Dreiecke, welche in Folge der Drehung um diese Äxe in bestimmtem (direct aus der Figur 

 ersichtlichem) Sinne aus einem durch die Zahl a bezeichnetem Dreiecke entstehen, wollen 

 wir der Reihe nach a^ und a^ bezeichnen {a^ = a). 



Der Symmetriegrosse 24 des Tetraparalleloeders entsprechend wird die Sphäre in 24 

 sphärische Dreiecke getheilt (Fig. 17). Die der oberen Hälfte der Sphäre angehörenden 

 Dreiecke wollen wir einfach 1 — 12 enuraeriren, wie dies für 

 das Hexagon in der Ebene der Fall war, und dann kommen 

 wir dazu, dass dieselben charakteristischen Zahlen dieselben 

 Symmetrieelemente ausdrücken. Die Dreiecke der unteren 

 Hälfte wollen wir mit Apostroph unterscheiden. Jetzt bedeutet 

 1' die horizontale Symmetrieebene, 2', 4', 6', 8', 10' und 12' 

 horizontale 2-zählige Symmetrieaxen von verschiedener Lage, 3' 

 und 11' beziehen sich auf die 6-zählige Axe I. Art der zusammen- 

 gesetzten Symmetrie und sind von einander untrennbar, 5' und 

 9' gehören der 6-zähligen Axe IL Art der zusammengesetzten 

 Symmetrie an und sind ebenfalls nicht von einander zu trennen; 

 endlich drückt 7' das Inversionscentrum aus. 



1 ""^^ 





l 5^ 





Fig. 17. 



Nr. 



f 



l5 



11. Auf Grund der eben entwickelten Betrachtungen erhalten wir folgende Tabelle der 



Symmetriearten der Kaumsysteme^) 



Charakteristisclie Zahlencomplexe für 

 Tetraparalleloeder 



Symmetrie- 

 grösse 



Tri-, Hexa- und 

 Heptaparalleloeder 



1 1 



2 15' 

 2 15 

 2 1 1' 



4 11' 5 5' 



Gleichungen der Symmetrie 



1 



y = b 



z = c 



v = d 



17' 



y = n'"^ h 



z = n^ c 



V = n" d 



17 



y ^b 



2 = W" C 



v = n^d 



11' 



y ^ yj-b 



^ = c 



v = d 



1 1'7 7' 



y = 'n/-h 



z = rC c 



V = w*" d 



untrennbar, drücken also eine zusammengesetzte Symmetrie höherer Art aus, unter welchen auch 1' auf- 

 tritt, welche, einzeln genommen, die horizontale Symmetrieebene ausdrückt. 



Für jetzt genügt es uns vollständig, den speciellen Fall jp = 6 zu besprechen. 



In diesem Falle erhalten wir also zwei und nur zwei Arten der zusammengesetzten Symmetrie 

 und zwar diejenigen, welche durch die Reihen a) 1 3' 5 7' 9 (1 1)' und b) 1 1' 5 5' 9 9' angegeben werden. 



Die erste Reihe (also auch die Zahl 3' allein genommen) drückt die 6-zählige Axe I. Art der 

 zusammengesetzten Symmetrie aus. Das der Reihe b) entsprechende Symmetrieelement (also die Zahl 5' 

 allein genommen) drückt die analoge Axe IL Art aus. 



Hierzu gehört auch die Reihe 17', aber dieselbe drückt einfach das Inversionscentrum (resp. die 

 2-zählige Axe der zusammengesetzten Symmetrie) aus. 



4-zählige Axen der zusammengesetzten Symmetrie giebt es nur eine einzige Art, welche durch die 

 Reihe 1 3' 5 7' bestimmt wird. 



^) Der Anschaulichkeit wegen wird hier die graphische Darstellung sämmtlicher Symmetriearten 

 der regulären Raumtheilung beigegeben (Taf. II). Solche Tafeln werden jetzt elementaren Lehrbüchern 

 der Krystallographie beigegeben, da die bezüglichen Symmetriearten mit den ki-ystallographischen 

 identisch sind. 



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