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die Symmetriearten 9 — 15 der elementare Axen winke! ^ ist, für 16 — 20 ist derselbe Winkel 

 -5-, und endlich für die Symmetriearten 21 — 27 ist derselbe Winkel -^ = w- D'^ Coordinaten- 

 axen werden der Reihe nach mit «/q, y^^ y^ . . . bezeichnet. 



Endlich werden für die kubische Syngonie als Coordinatenaxen drei oben besonders 

 erwähnte besondere senkrechte Richtungen (kubische Axen) x^, Xj, x^ angenommen. 



Was endlich die Bezeichnung der Periode, die Bedeutung der eingeführten Symmetrie- 

 parameter und die Ueberzähligkeit der Coordinatenaxen betrifft, so sind auch hier die 

 Bemerkungen § 10, I. Theil geltend. 



13.' Die Darstellung der Systeme I. Ordnung wird auch jetzt dadurch erschöpft, dass 

 man alle diesen Systemen zukommenden Symmetriearten berücksichtigt. Dabei kann aber 

 vorkommen, dass man für einen und denselben Paralleloedertypus eine und dieselbe Symmetrie- 

 art verschiedener Systeme erhält, indem die Colonnenrichtungen resp. Schichtebenen sich in 

 Bezug auf die Symmetrieelemente verschieden orientirt erweisen. 



Auch jetzt giebt für die Lösung derartiger Fragen die Lehre von der scheinbaren 

 Symmetrie die leitenden Aufschlüsse. (Vergl. §11, L Theil.) Da aber die Betrachtungen 

 dieser Art in ihren Anwendungen auf die Einzelheiten ziemlich viel Raum gefordert hätten, 

 das zu Grunde liegende Princip aber ausserordentlich einfach ist, so erlauben wir uns hier 

 wieder uns mit der Darlegung der Resultate zu begnügen, um so mehr, als die Resultate 

 schon längst constatirt worden waren ^). 



14. Diese Systeme sind ganz anschaulich auf Taf. III dargestellt. Jetzt wollen wir 

 dieselben in kurzen Worten charakterisiren. 



I) im, 2) IIV, 3) IVI und 4) 1 VII sind die Systeme, in welchen Symmetrie- 

 elemente vollständig fehlen. 



5) IjiIII, 6) IjrlV, 7) l^iVI und 8) ItiVII sind die Systeme, in welchen allein 

 das Inversionssystem anwesend ist. 



9) 2 III und 10) 2 IV sind zwei Systeme, in welchen allein 2-zählige Symmetrieaxen 

 einer einzigen (parallelen) Richtung vorhanden sind. 



II) 3 III, 12) 3 IV, 13)' 3 IV', 14) 3 VI, 15) 3 VI', 16) 3 VII und 17) 3 VIP sind 

 die Systeme, in welchen ausser 2-zähligen Symmetrieaxen noch ebensolche Schraubenaxen 

 vorhanden sind, obgleich alle diese Symmetrieelemente parallel sind. 



18) 1;^III und 19) l;fIV sind zwei Systeme, in welchen allein lauter parallele 

 Symm'etrieebenen vorhanden sind. 



20) 1;^'III, 21) l;t'IV, 22) I;^' IV', 23) l^'VI, 24) l^'VP, 25) 1^' VII und 

 26) 1%'VII' sind die Systeme, in welchen ausser Symmetrieebenen noch ihnen parallele 

 Gleitebenen vorhanden sind. 



') Die Gesammtheit der Paralleloedersysteme I. Ordnung war zuerst in E. G. L. § 84, S. 238 ange- 

 deutet und in S. L. III Taf. IV schon ganz anschaulich und vollständig abgebildet. Die jetzige Abbildung 

 Taf. II unterscheidet sich von der vorigen dadurch, dass die Paralleloeder in nicht deformirter Form 

 aufgezeichnet sind. Dadurch wird auf die Kelationen unter Systemen verschiedener Symmetrie anschau- 

 licher und einfacher hingewiesen und besonders wird dadurch die Lage der Symmetrieelemente durch 

 entsprechende charakteristische Zahlen in Anschaulichkeit gewonnen. 



