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15. um für alle Systeme die Symmetrieelemente überhaupt vollständig darzustellen, 

 müssen die Sätze § 13 (I. Theil) mit folgenden Ergänzungen berücksichtigt werden: 



Ergänzung des 1. Satzes § 13. Hat die gegebene Deckschiebung l in Bezug auf 



die gegebene Symmetrieaxe eine schiefe Richtung, dessen Componente in der Richtung der 



Axe gleich V- ist, so ist die resultirende ^-zählige Axe eine Schraubenaxe mit der Deck- 



X 

 Schiebung Z'; V muss dabei noth wendigerweise gleich n — sein, wo X die Deckschiebung 



des Systems in der Richtung der Axe, und n eine ganze Zahl bedeutet. Ist die gegebene Axe 

 eine Schraubenaxe mit der Deckschiebung Z, so ist die resultirende Axe eine Schraubenaxe 

 mit der Deckschiebung L -\- V. Ist dabei L -\- X' ^^nX^ so ist diese Axe keine Schrauben- 

 axe mehr, sondern eine Symmetrieaxe^). 



Dabei muss in Rücksicht genommen werden, dass eine 4-zählige Symmetrieaxe zugleich 

 2-zählige, und eine 6-zählige Symmetrieaxe zugleich 2- und 3-zählige Symmetrieaxe ist. Das- 

 selbe gilt analog für Schraubenaxen. Daraus geht hervor, dass die aus solchen Axen und 

 der gegebenen Translation entstehenden resultirenden Axen verschiedenartig sind und zu- 

 gleich verschiedene Lage erhalten. 



Speciell für die Axen der zusammengesetzten Symmetrie erhalten wir, dass auch die 

 resultirenden Symmetrieelemente eben solche Axen sind. Ist dabei die Translation senk- 

 recht zur Axe, so behält die Ebene der zusammengesetzten Symmetrie ihre Lage; ist aber 

 die Translationsrichtung in Bezug auf die Axe scbief und besitzt in ihi'er Richtung die 

 Componente V. so erhält die resultirende Ebene der zusammengesetzten Symmetrie eine neue 



V 

 Lage, und zwar wird sie nur um die Componente — verschoben. 



Li 



Sind zwei beliebige Symmetrieelemente in beliebiger relativer Lage gegeben, so ent- 

 steht ein resultirendes Symmetrieelement, welches wir dadurch stets ermitteln können, dass 

 wir zuerst die Symmetrieelemente sich in einem Punkt schneidend denken, das resultirende 

 Element bestimmen, und dann noch die nicht in Betracht gezogene Translation berück- 

 sichtigen, welche auf Grund des eben angegebenen Satzes uns zu einem ganz bestimmten 

 Symmetrieelement von ganz bestimmter Lage führt. Die Schraubenaxen und die Gleit- 

 ebenen sind dabei stets in ihre Componenten zerlegt zu denken, d. h. als Symmetrieaxen 

 resp. Symmetrieebenen und Translationsrichtungen mit ganz bestimmten Componenten. 



Es wäre sehr viel Raum dazu nöthig, um diesen allgemeinen Satz für sämmtliche 

 vorkommende Fälle besonders anzuwenden. 



Vergleichen wir die bei der Darstellung der Systeme I. Ordnung gefundenen regel- 

 mässigen Punktsysteme mit denjenigen 230 Systemen, welche früher auf anderem Wege 

 erschöpfend abgeleitet wurden, so finden wir, dass die jetzt gefundenen Systeme sich zwar 

 unter denselben befinden, aber von denselben hier nur durch 73 vertreten sind. Diese 

 Systeme wurden bei ihrer Ableitung unter dem Namen symmorphe abgesondert. 



Die Vertheilung der Symmetrieelemente sämmtlicher regelmässiger Punktsysteme ist 

 ganz anschaulich in den Tafeln IV und V graphisch dargestellt. Die Symmetriegleichungen 

 dieser Systeme sind in der Tabelle V am Schlüsse dieses Theiles zusammengestellt^). 



1) Die betreffende Reilie von Sätzen ist in S. L. III S. 20—29 enthalten. Vgl. Anm. 9. 



2) Die anschaulichen graphischen Darstellungen der Lagerung der Symmetrieelemente der regel- 

 mässigen Punktsysteme sind zuerst in S. L. III Taf. II und III und später in der Einleitung zur 



