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Besondere Anmerkung. Hier wird von der allseitigen Dilatation abgesehen, welche 

 ebenfalls als ein besonderer Fall der Affinität auftritt und eigentlich den Fall der Aehn- 

 lichkeit darstellt. 



2. Satz. Als Verschiebungsebenen und Verschiebungsrichtungen können die singulären 

 Ebenen resp. Richtungen nur dann auftreten, wenn in der zur Verschiebuugsebene senk- 

 rechten und der Verschiebungsrichtung parallelen Ebene sämnitliche Richtungen singulär sind. 



Ausser trikliner Syngonie ist dieser Fall für monokline Syngonie zulässig, wenn man 

 als Verschiebungsebene eine der besonderen singulären Richtung parallele Ebene und als 

 Verschiebungsrichtung die zu derselben Richtung senkrechte nimmt. 



Durch diese Sätze erwirbt die ausgeführte Ableitung der regulären Raumtheilungen 

 I. Ordnung die erwünschte Allgemeinheit. 



17. Jetzt stellen wir die Frage auf, ob Systeme möglich sind, in welchen die Raum- 

 einheiten yerschiedenartig orientirt sind? 



Auch jetzt können wir in allgemeinster Weise die Deckoperation irgend zweier Ein- 

 heiten des Systems so auffassen, dass dieselbe aus 2 Theiloperationen besteht: 1. eine Drehung 

 um eine bestimmte Axe um den Winkel a und 2. eine einfache Translation. 



Dazu kann noch eine Spiegelung kommen. 



Ohne die Betrachtungen des § 15 I. Theil zu wiederholen, können wir jetzt direct 

 den Schluss angeben, dass die erste Theiloperation eine der Symmetrieaxe ent- 

 sprechende Drehung ist. Dieselbe mit Translation combinirt, giebt eine Schraubenaxe 

 als ein Symmetrieelement ^). 



Auch jetzt sind Symmetrieelemente von verschiedener Bedeutung unterschieden, und 

 zu allererst diejenigen, welche in den Raumeinheiten explicit sind, von denjenigen, welche 

 als Elemente der Verbandsymmetrie auftreten. 



Als explicite Symmetrieelemente können Symmetrieaxen, Symmetrieebenen und Elemente 

 der zusammengesetzten Symmetrie auftreten, keineswegs aber Schraubenaxen und Gleitebeneu. 



Aber dieselben Symmetrieelemente, welche explicit vorkommen, können auch als 

 Elemente der Verbandsymmetrie auftreten. Solche Symmetrieelemente werden als peri- 

 pherische bezeichnet. 



18. Da die Anzahl der möglichen Orientirungen der Raumeinheiten eine endliche ist, 

 so müssen unter denselben auch gleichorientirte vorkommen. 



Nehmen wir eine solche z. B. die nächstliegende in Betracht, so finden wir, dass 

 dadurch schon eine unendlich congruente Reihe mit bestimmter Richtung und Strecke 

 bestimmt wird; dann ergibt von sich selbst, dass die Gesammtheit gleichorientirter Raum- 

 einheiten ein Raumgitter bildet; somit können wir auch für solche Systeme die für Systeme 

 I. Ordnung gefassteia Schlüsse anwenden; also finden wir, dass diese Systeme nur mit den 

 oben angegebenen 32 Symmetriearten verträglich sind, welche sich ihrerseits zu 6 Syugonie- 

 arten gruppiren. 



1) Leider sind bis jetzt in der Symmetrielehre solche Schraubenaxen von den allgemeinen Schrauben- 

 axen nicht durch ein besonderes Fachwort unterschieden. Dies ist nur desswegen zulässig, weil in der 

 Symmetrielehre, ebenso wie in der Lehre von der regulären Raumtheilung nur solche besondere Schrauben- 

 axen zu berücksichtigen sind. 



