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19. Wählen wir in einer Raumeinheit einen beliebigen, aber im Innern derselben 

 befindlichen Punkt aus, so erhalten wir zuerst bei der Annahme der expliciten Symmetrie- 

 grösse s eben diese Anzahl der im Innern enthaltenen Punkte. Sämmtliche Deckbewegungen 

 des Systems, welche ausschliesslich durch Symmetrieelemente vertreten sind (§ 17), bedingen 

 eine unendliche Anzahl solcher Punktgruppen, welche, zusammengenommen, ein regelmässiges 

 Punktsystem bilden. 



Wären Punkte vorhanden, deren analoge Punkte in ihrer Gesammtheit ein Raum- 

 gitter gebildet hätten (Hauptpunkte), so hätten wir schliessen können, dass diese Punkte 

 für die Centra des Paralleloeders genommen werden könnten, und dann wäre eine Raum- 

 einheit, einzeln genommen oder in einer bestimmten Gruppe, als ein (der Form nach) primäres 

 oder sec'undäres Paralleloeder aufzufassen. Wie aber dies zu beweisen für den allgemeinsten 

 Fall nicht gelungen ist, so ist auch die Möglichkeit der Annahme nicht ausgeschlossen, 

 dass dies auch nicht der Fall sein kann. Aber selbst dann kann das System so aufgefasst 

 werden, als ob es aus lauter Einheiten bestünde, welche sämmtlich parallel orientirt sind, wobei 

 aber jede einzelne Raumeinheit nicht mit einem einfachen Paralleloeder identisch ist, sondern 

 eine vereinigte Anzabl derselben darstellt d. h. ein zusammengesetztes Paralleloeder ist. 



20. Die aufgestellte Frage kann dadurch gelöst werden, dass man eine erschöpfende 

 Darstellung der Systeme ausführt, deren Einheiten einfache Paralleloeder sind, und auf diese 

 Weise eine Anzahl regelmässiger Punktsysteme reproducirt, und dann das gefundene Resultat 

 mit der auf anderem Wege ausgeführten erschöpfenden Darstellung der regelmässigen Punkt- 

 systeme vergleicht. Würden die beiden Resultate zusammenfallen, so sollte es heissen, dass 

 auch die regulären Raumtheilungen erschöpfend dargestellt worden sind; damit wird aber 

 zugleich der Beweis geliefert, dass sämmtliche regelmässigen Punktsysteme auch als parti- 

 culärer Fall die Hauptpunktsysteme enthalten. Sonst sind die Systeme vorhanden, ohne in 

 sich Hauptpunkte zu enthalten. 



Besondere Anmerkung. Der Bestimmtheit wegen sind folgende Betrachtungen zu 

 berücksichtigen. 



Da in jedem jetzt in Betracht kommenden System die (der Form nach) einfachen 

 Paralleloeder verschieden orientirt sind, so sind dieselben streng genommen keine Paralleloeder 

 mehr. Nur eine Gruppe derselben, in welcher je ein Paralleloeder jeder Orientirung ver- 

 treten ist, kann in strengem Sinne des Wortes als solches betrachtet werden. Die einzelnen 

 Raumeinheiten sind nur als die integrirenden Theile eines Paralleloeders anzusehen, und 

 solche, durch Symmetrieelemente unter einander verbundenen Raumfiguren pflegt man als 

 Stereoeder zu bezeichnen. Wenn dabei dieselben explicite Symmetrie besitzen, so können 

 sie in noch kleinere Figui-en getheilt werden. Nennen wir die letzteren die einfachen 

 Stereoeder, so sind die elementaren Raumeinheiten des Systems die zusammengesetzten 

 Stereoeder. 



Für die die Hauptpunkte enthaltenden Systeme sind also die zusammengesetzten 

 Stereoeder der Form nach auch die Paralleloeder, und die eigentlichen Paralleloeder sind der 

 Form nach die zusammengesetzten Paralleloeder. 



Für die die Hauptpunkte nicht enthaltenden Systeme, wenn solche überhaupt vor- 

 handen sind, sind sogar die eigentlichen Stereoeder der Form nach die zusammengesetzten 

 Paralleloeder. 



