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21. Das Resultat aller dieser Betrachtungen ist, dass man zu einer erschöpfenden 

 Darstellung aller typischen Systeme mit Hauptpunkten kommt, wenn man alle Symmetrie- 

 arten, eine nach der anderen, berücksichtigt und für jede derselben zum Ausgangspunkt 

 die dazu gehörenden Typen des Paralleloeders I. Ordnung herauswählt, aber denselben eine 

 geringere explicite Symmetrie zuerkennt, und zwar alle diejenigen Symmetriearten, welche 

 derjenigen der I. Ordnung untergeordnet sind, und die frei bleibenden Symmetrieelemente 

 als Elemente der Verbandsymmetrie auffasst. 



Auch jetzt wird die Symmetriegrösse in zwei Factoren zerlegt: die der expliciten und 

 die der Verbandsymmetrie, deren Product gleich ist der Symmetriegrösse des Systems. 



Die Symmetriegrösse der Verbandsymmetrie ist zugleich der Anzahl der Orientirungeu 

 der Einheiten des Systems gleich. Im besonderen Falle der asymmetrischen Einheiten ist 

 diese Anzahl zugleich die Symmetriegrösse des Systems. 



22. Jedes solche System kann also durch das Paralleloeder und dessen Orientirungen 

 in den anliegenden Raumeinheiten eindeutig und streng bestimmt werden. Ist das Paralleloeder 

 asymmetrisch, so kann die Orientirung der anliegenden Einheiten durch eine einzige Operation 

 bestimmt werden, und zwar entweder a) durch einfache Translation oder b) durch ein 

 Element der Verbandssymmetrie. Die letzte Operation wird durch eine einzige charakteri- 

 stische Zahl angegeben, und zwar eine Zahl, welche der bezüglichen Grenzfläche angehört. 

 Die Angabe der einfachen Translation kann einfach durch die Abwesenheit einer solchen 

 charakteristischen Zahl geschehen. 



Die Systeme wollen wir in solche von verscliiedenen Ordnungen gruppiren, je nach 

 der Anzahl der verschiedenen Orientirungen der Einheiten, also nach der Symmetriegrösse 

 der Verbandsymmetrie. 



23. Die Darstellung der Systeme wollen wir in der Reihenfolge der Ordnungen aus- 

 führen, aber zugleich in der Ordnung der Paralleloeder, und zwar zuerst die Triparalleloeder, 

 dann die Hexa- und Heptaparalleloeder und zuletzt die Tetraparalleloeder berücksichtigen. 



Jedesmal ist dem üntersuchungsgang die Auffindung der Ableitungsformen voraus- 

 zuschicken. Diese Auffindung wird auch hier erschöpfend ausgeführt, wenn man in der 

 Reihe der absoluten Entfernung verschiedene Einheiten als die nächstliegenden gleich 

 orientirten annimmt. 



Jede solche Annahme giebt uns sofort eine bestimmte Reihe mit der ihr zugeordneten 

 Richtung und Strecke. Ist diese Richtung keine singulare, so erhalten wir wenigstens zwei 

 gleiche Reihen, und hiermit ein ebenes Netz gleich orientirter Raumeinheiten. Ist die 

 Anzahl gleicher Richtungen grösser als zwei, so erhalten wir wenigstens drei bestimmte 

 Reihen und somit wird uns ein gewisses Raumgitter bestimmt. 



Für zwei gleiche Richtungen ist aber eine andere Annahme nöthig, um das Raum- 

 gitter zu bestimmen. Die Anzahl der zulässigen Ableitungsformen wird dadurch vergrössert. 



Sind die angenommenen Richtungen singulare, so stellt sich den zulässigen An- 

 nahmen noch ein viel weiteres Gebiet, indem die Anzahl bis auf drei steigt. 



Jedenfalls sind auch hier die beiden folgenden Sätze giltig: a) die Aufsuchung der 

 Ableitungsformen ist eine Syngonie- und nicht eine Symmetriefrage^), und b) die 



1) Speciell für hexagonale Syngonie sind auch Hyposyngoniegruppen zu berücksichtigen. 



