513 



25. Unter den Elementen der Verbandsymmetrie sind ausser den peripherischen noch 

 die centralen und die schneidenden zu unterscheiden. 



Die centralen Elemente der Verbandsymmetrie sind diejenigen, welche durch das 

 Centrum des primären Paralleloeders hindurchgehen. Dazu gehören die Schraubenaxen 

 und die Gleitebenen. 



Dieselben Symmetrieelemente können aber auch als schneidende auftreten und zwar 

 wenn sie durch das Centrum nicht hindurchgehen, aber die ihnen entsprechenden charak- 

 teristischen Zahlen als solche auf den Grenzflächen auftreten. 



Die Anwesenheit solcher Symmetrieelemente ist mit besonderen Relationen der Raum- 

 einheiten verbunden. 



Ein centrales, durch zwei auf entgegengesetzt liegenden Flächen durch charakteristische 

 Zahlen bestimmtes Element der Verbandsymmetrie bedingt eindeutig eine Colonne 

 IL Ordnung. Diese Colonnen sind immer phan erotopische, da die entgegengesetzt 

 liegenden charakteristischen Zahlen dieselben sind. Dieselben Symmetrieelemente können 

 aber auch in den Colonnen kryptotopisch auftreten, indem die diesen Colonnen zuge- 

 ordneten charakteristischen Zahlen zwei verschiedene sind, also verschiedene Arten von 

 Symmetrieelementen ausdrücken, aber das resultirende Symmetrieelemeut ein centrales ist, 

 und durch die Zahlen nicht angezeigt wird. 



Die schneidenden Symmetrieelemente bedingen direct und eindeutig eine Reihe 

 I. Ordnung, wenn die bezüglichen Grenzflächen nicht anliegende sind; sind dieselben 

 anliegende, so bestimmen solche Symmetrieelemente eine Colonne I. Ordnung, welche aber 

 der gegebenen Rauraeinheit nicht angehört. 



Die Möglichkeit des Vorkommens solcher Symmetrieeleraente wird also durch die 

 gegebene Ableitungsform bedingt, und solche Symmetrieelemente sind in erster Linie zu 

 berücksichtigen. Diese Möglichkeit ist durch die Gleichheit zweier charakteristischer Zahlen 

 und durch relative Lage der bezüglichen Grenzflächen bedingt. Sind keine zwei charakte- 

 ristischen Zahlen gleich, so sind alle betrachteten Symraetrieelemente ausgeschlossen, und 

 dann bleibt nur noch die Möglichkeit des Auftretens der peripherischen Elemente zu 

 berücksichtigen. 



26. Jetzt wenden wir uns zur Behandlung der Aufgabe der vollständigen Aufsuchung 

 der Systeme höherer Ordnung. 



Ein solches System wird eindeutig und streng bestimmt, wenn ein Paralleloeder 

 mit den allen seinen Grenzflächen zukommenden charakteristischen Zahlen auftritt. Nun 

 sind aber nicht diese säramtlichen Zahlen von einander unabhängig, und zu allererst entsteht 

 die Frage, welche Zahlen zur Bestimmung des Systems nothwendig und hinreichend sind. 



Denken wir uns das System in lauter parallele und anliegende ebene Netze getheilt. 

 Es wird sofort ersichtlich, dass die Bestimmung der Orientirung der der gegebenen Einheit 

 anliegenden und dabei den beiden anliegenden ebenen Netzen zugehörenden Einheiten hin- 

 reichend ist. 



In Folge der dreidimensionalen Eigenschaft des Raumes ist aber die Bestimmung 

 wenigstens dreier Colonnen nothwendig. 



Daraus folgt, dass die aufgestellte Aufgabe dann aufgelöst wird, wenn wir das System 

 in solche ebene Netze theilen würden, deren drei und drei Einheiten der gegebenen 

 anliegend sind. 



Abh. d. IL Gl. d. k. Ak. d. Wiss. XX. Bd. IL Abth. 66 



