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Diesen beiden aufgestellten Bedingungen entsprechen die in den Figuren 12 — 15 (S. 497) 

 durch die Buchstaben ahc angezeigten Flächen; dabei werden auch die entgegengesetzt 

 liegenden a', b' und c' mit verstanden werden. 



Es bleibt also übriec, sämmtliche Systeme dadurch zu charakterisiren, dass man —,:;-,— 

 " a' b' c' 



bestimmten Symmetriezahlen gleich macht. 



Es muss sogleich hervorgehoben werden, dass speciell für das Hexaparalleloeder ein 

 besonderer Fall vorkommt, in welchem die Angabe der Verbandsymmetrieelemente für a, 

 h und c nicht genügend ist zum eindeutigen Bestimmen des Systems. Das ist nämlich der 

 Fall, in welchem die Angabe zweier Elemente, z. B. b und c, überhaupt nicht genügt 

 (Systeme IV. und VIII. Ordnung), aber dabei die Orientirung der Einheiten h und c eine 

 solche ist, dass ihr gegenseitiges Verbandsymmetrieelement 5 ist, dessen Lage in Bezug 

 auf die Grenzfläche a peripherisch ist; folglich a = 5, und das System bleibt unbestimmt. 

 Für diesen speciellen Fall können wir ausnahmsweise eine andere Grenzfläche, z. B. d, 

 auswählen. 



27. Es sind Systeme möglich, welche für sämmtliche Colonnen phauerotopisch sind. 

 Solche Systeme wollen wir als phanerotopische bezeichnen, im Gegensatz zu denjenigen, 

 in welchen auch kryptotopiscbe Colonnen vorkommen, und welche wir desswegen als krypto- 

 topische Systeme bezeichnen. 



Nun ist es einleuchtend, dass für die Bestimmung der phauerotopischen Systeme hin- 

 reichend ist, nur die Zahlen a, h und c bestimmten Syrametriezahlen gleich zu setzen; für 



die kryptotopischen Systeme ist aber noth wendig, die Zahlenpaare —,1 f-,-, — sämmtlich oder 



theilweise zu berücksichtigen. Dadurch wird zugleich ersichtlich gemacht, welche von den 

 drei das System bestimmenden Colonnen die phauerotopischen sind. 



28. Ist ein Paar Grenzflächen vorhanden, deren charakteristische Zahl gleich 1 ist 

 (welche nicht aufgestellt wird) d. h. die auf die Translation als Deckoperation hinweisen, so 

 ist hiermit eine Colonne I. Ordnung bestimmt und dann kann das ganze System als aus 

 lauter solchen parallelen Colonnen bestehend betrachtet werden. Solche Systeme wollen wir 

 Colonnensysteme nennen und ihr Symbol durch den Buchstaben c anmerken. Natürlich 

 sind solche Systeme nur dann möglich, wenn die Colonne die singulare Richtung hat. 



Sind wenigstens zwei Paar solcher Flächen vorhanden, so entstehen zwei Colonnen 

 I. Ordnung, aber verschiedener Richtung, und dieselben bestimmen eine Schicht I. Ordnung. 

 Dann ist das System als aus lauter parallelen Schichten I. Ordnung bestehend aufzufassen. 

 Solche Systeme wollen wir als Schichtsysteme bezeichnen und ihrem Symbol den Buch- 

 staben s beigeben. Dieselben sind nur dann möglich, wenn die Schichtebene singulär ist. 



Endlich kann der Fall vorkommen, bei welchem drei Paar solcher Flächen vorhanden 

 sind, und trotzdem das System noch nicht dasjenige I. Ordnung ist. Dieser Fall ist aber 

 ausschliesslich für Systeme der Heptaparalleloeder möglich, und zwar nur dann, wenn die 

 bezüglichen Flächen diejenigen sind, durch welche die gegebene Raumeinheit den Raum- 

 einheiten einer Schicht anliegend ist, welche selbst aber nicht die nächst anliegende ist. In 

 dem primären Heptaparalleloeder sind diese Flächen die Vierecke. In diesem Falle stellt 

 das System zwei in einander gestellte Raumgitter dar, deren Raumeinheiten aber verschieden 



