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orientirfc sind. Solche Systeme sind also nothwendig Systeme II. Ordnung. Wir wollen die- 

 selben als Gittersysteme bezeichnen und ihrem Symbol den Buchstaben g beigeben. 



29. Es ist selbstverständlich, dass die Aufsuchung der phanerotopischen Systeme viel 

 einfacher vor sich geht, als die der kryptotopischen. 



Für die letzteren sind folgende Sätze zu berücksichtigen. 



1. Satz. Tritt eine 2-zählige Schraubenaxe singulärer Richtung oder eine singulare 

 Gleitebene mit singulärer Gleitrichtung central als ein Element der Verbandsymmetrie auf, 

 so sind die senkrechten Colonnen höchstens II. Ordnung und die senkrechten Reihen noth- 

 wendiger Weise I. Ordnung. 



Der Satz lässt sich ganz analog dem Satze § 25, I. Theil beweisen, indem man sich 

 eine der gegebenen anliegenden Raumeinheit A vorstellt und dieselbe der dem gegebenen 

 central liegenden Symmetrieelement entsprechenden Deckoperation unterwirft. Dann erhält 

 man eine andere Einheit JB. Unterwirft man die letztere der analogen Operation, aber in 

 Bezug auf das in derselben central auftretende Symmetrieelement und dabei in entgegen- 

 gesetzter Richtung, so kommt mau zu einer neuen Einheit C, welche mit A gleich orientirt 

 ist und mit derselben in einer und derselben Colonne resp. Reihe liegt. Die Coloune ist 

 also höchstens IL Ordnung, und die Reihe nothwendig I. Ordnung. 



Der Satz gilt natürlich da, wo das Symmetrieelement kryptotopisch ist, ebenso wie da, 

 wo dasselbe phanerotopisch auftritt (in letzterem Falle ist es also ein centrales Element der 

 Verbandsymmetrie). Da aber eine 2-zähhge Symmetrieaxe zugleich eine Schraubenaxe 

 ist, und eine Symmetrieebene zugleich eine Gleitebene ist, so ist derselbe Satz auch dann 

 giltig, wenn diese Symmetrieelemente explicit auftreten. 



Derselbe Satz ist ebenfalls für die 4-zähligen und 6-zähligen Symmetrie- und Schrauben- 

 axen giltig, da dieselben auch zugleich 2-zählige sind. 



2. Satz. Tritt eine 4-zählige polare (d. h. rechte oder linke) Axe central auf, und 

 enthalten dabei alle Raumeinheiten Schraubenaxen von einem und demselben Windungssinn, 

 so sind die zu ihnen senkrechten Schichten höchstens IL Ordnung und die ebenen Netze noth- 

 wendig I. Ordnung. 



Der Beweis dieses Satzes ist dem des vorigen ganz analog. 



Da aber die 4-zählige Symmetrieaxe zugleich Schraubenaxe mit der Deckschiebung 



A X 



- ist, und die letzte zugleich als eine polare Axe mit der Deckschiebung - anzusehen ist, 



so gilt der Satz auch für diese Axen. 



Natürlich ist aber bei dieser Auffassung für 4-zählige Symmetrieaxe die Decktranslation 



X 

 in ihrer Richtung 4 Mal und für 4-zählige Schraubenaxe mit der Deckschiebung - 2 Mal 



kürzer als die Decktranslationsgrösse in der Richtung der polaren Schraubenaxe anzunehmen. 

 Ist der Windungssiun der der gegebenen Raumeinheit anliegenden Raumeinheit A der 

 direct entgegengesetzte, so erhalten wir nach dem Ausführen der elementaren Deckoperation 

 um die centrale Schraubenaxe eine Einheit 5, welche mit A denselben Windungssinn, also 

 den der gegebenen entgegengesetzten besitzt. Es folgt daraus, dass die Einheit 0, welche 

 aus 5 durch die Deckoperation um die in B central auftretende Axe in entgegengesetzter 

 Richtung zu Stande kommt, nicht dieselbe Orientirung wie A besitzt, sondern sich aus 

 derselben durch Drehung um die 2-zählige Axe erhalten lässt. 



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