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30. Speciell für die kryptotopischen Colonnen sind noch folgende Sätze giltig. 



Tritt eine, einer kryptotopischen Colon ne parallele, 2-zählige Schraubenaxe singulärer 

 Richtung oder eine singulare Gleitebene mit singulärer Gleitrichtung central und krypto- 

 topisch auf, so kann keine der gegebenen anliegende Einheit dieselbe Orientirung mit 

 den der Colonne angehörenden anliegenden Einheiten besitzen; ausgenommen wird der 

 Fall der monoklinen Syngonie mit kryptotopischer Gleitebene in Bezug auf die Einheiten, 

 welche mit der gegebenen diese Ebene gemeinsam haben. 



In dem letzten Ausnahmefalle allein erhalten wir auf Grund der entgegengesetzten 

 Annahme eine singulare Reihe I. Ordnung. Für sämmtliche übrigen Fälle ist diese Reihe 

 keine singulare; also entsteht in allen diesen Fällen ein ebenes Netz I. Ordnung, und diesem 

 Netze würden auch die beiden der Colonne angehörenden und der gegebenen Einheit an- 

 liegenden Einheiten zukommen; die Colonne würde somit keineswegs kryptotopisch sein. 



Für die der gegebenen anliegenden und dabei, zusammen mit der gegebenen, der zur 

 kryptotopischen Colonne senkrechten Colonne angehörenden Raumeinheiten ist ganz zulässig, 

 ihnen die gleiche Orientirung mit derjenigen Einheit zuzusprechen, welche der kryptotopischen 

 Colonne angehört, aber der gegebenen Einheit nicht anliegend ist. Diese Orientirung 

 würde durch die Drehung um die 2-zählige Axe oder Spiegelung in der Symmetrieebene 

 bestimmt werden. 



Ganz Analoges gilt für die kryptotopischen Colonnen, in welchen eine 4-zählige polare 

 Axe (d. h. eine rechte oder eine linke) central und kryptotopisch auftritt. Die der gegebenen 

 Einheit anliegenden, und den in Bezug auf die kryptotopische Colonne senkrechten Colonnen 

 angehörenden Raumeinheiten können nicht mit den der kryptotopischen Colonne angehörenden 

 Einheiten gleiche Orientirung besitzen, diejenigen ausgenommen, deren Orientirung durch 

 Drehung um eine 2-zählige Axe aus der gegebenen hervorgeht. 



31. Wenn die Raumeinheiten explicit symmetrisch sind, so kommen folgende Fälle 

 in Betracht. 



Entweder a) ist die explicite Symmetrie der Verbandsymmetrie untergeordnet. 



Ist dies der Fall, so wird die Ordnung im Vergleich mit der Ordnung der Systeme, 

 in welchen die Verbandsymmetrie dieselbe ist, aber die Einheiten asymmetrisch sind, um so 

 viele Male geringer, als Einheiten in der Symmetriegrösse enthalten sind. Dadurch ist das 

 Auffinden solcher Systeme vereinfacht. 



Oder b) die Elemente der expliciten Symmetrie sind von denjenigen der Verband- 

 symmetrie unabhängig. In diesem Falle bleibt auch bei derselben Verbandsymraetrie die 

 Ordnung der Systeme dieselbe. Solche Systeme lassen sich auch aus den entsprechenden 

 asymnietrischen durch einfache Einschaltung der betreffenden Symmetrieelemente ableiten. 



Bei dieser Einschaltung ist aber stets zu berücksichtigen, ob die Lage der Elemente 

 der Verbandsymmetrie diese Operation zulässt. 



32. Speciell für die Systeme der hexagonalen Syngonie tritt als Element der Verband- 

 symmetrie in den zur Hauptaxe senkrechten Schichten allein die 3-zählige Symmetrieaxe auf 

 und zwar ist dies lediglich für Tetraparalleloedersysteme der Fall. Würde es möglich sein, 

 ein 2-zähliges Symmetrieelement als ein Element der Verbandsymmetrie einzuführen, so 

 wären die Schichten II. Ordnung gewesen, was aber unmöglich ist (§ 33, I. Theil), da der 

 Ableitungsform gemäss nur Schichten III. und IV. Ordnung möglich sind. Wird der 

 3-zähligen peripherischen Symmetrieaxe die singulare Symmetrieebene hinzugefügt, so wird 



