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hinzugefügt werden. Für den Typus 5 III sind die Symmetrieaxen 4' und 8' der Lage 

 nach von 5 zu unterscheiden, wenn auch die Axen 4' und 8' unter einander gleichwerthig 

 sind. Für den Typus 3 9? III sind wieder die Symmetrieebenen 1' und 4 ungleichwerthig. 

 Hier kommt ein besonderer Fall vor, indem einer und derselben Symmetrieart, einem 

 und demselben Grundtypus 4 III zwei verschiedene Systeme angehören, welchen eigentlich 

 ein und dasselbe Symbol 5 (2 IIIJ*^ zukommt, da auch die beiden zu Grunde liegenden Punkt- 

 systeme sich als identische erweisen und zwar als das Punktsystem 5 (Taf. IV). Die Systeme 

 müssen aber verschieden sein, da ihnen verschiedene Varietäten der Ableitungsformen und 

 zwar laa und aal entsprechen. Die Verschiedenheit dieser Varietäten ist aber aus der 

 Lage der expliciten Symmetrieaxe 6 ersichtlich. Die Verschiedenheit kommt dadurch zum 

 Ausdruck, dass in dem ersten die besondere Symmetrieaxe des Systems (welche sich mit den 

 anderen nicht schneidet) explicit vorkommt, während in dem zweiten dieselbe Axe eine 

 peripherische ist (der Grenzfläche & zugeordnet). Um diese Verschiedenheit zum Ausdruck 

 kommen zu lassen, ist dem Symbol des zweiten Systems ein Apostroph beigegeben. 



37. Für die Systeme der tetragonalen Syngonie behalten dieselben drei Ableitungsformen 

 ihre Giltigkeit, welche aber in Folge der Anwesenheit der 4-zähligen Deckaxen nur in 

 drei typischen Varietäten vorkommen, und zwar all, laa und aaa. 



Für die vollständige Darstellung der Systeme bleiben nur die Grundtypen und unter- 

 geordnete Symmetriearten zu berücksichtigen. Vom Standpunkte der Lehre über scheinbare 

 Symmetrie sind aber solche explicite Symmetriearten wie 12 5 6 und 14 5 8 u. dgl. von 

 einander zu untersclieiden. 



38. Für die Systeme der hexagonalen Syngonie ist eine einzige Ableitungsform aaa giltig. 

 Hier werden auch nicht alle Symmetriearten vertreten und zwar a) weil nicht für 



sämmtliche Symmetriearten die Grundtypen überhaupt vorhanden sind, sondern lediglich für 

 Symmetriearten der trigonalen Hyposyngonie, b) speciell für die 16. Symmetrieart fehlen die 

 hierzu gehörenden Systeme einfach desswegen, weil unter den Symmetrieelementen keine 

 2-zähligen vorkommen. Aus diesem Gi'unde muss die 3-zählige Symmetrieaxe explicit auf- 

 treten. Dadurch lassen sich die untergeordneten Symmetriearten bestimmen. 



39. Auch für die Systeme der kubischen Syngonie ist allein die Ableitungsform aaa 

 giltig; auch hier muss die 3-zählige Symmetrieaxe explicit auftreten. In Folge dessen lassen 

 sich die charakteristischen Zahlen der Verbandsymmetrie (ebenso wie die expliciten) kürzer 

 anzeigen, wie darauf im § 11 hingewiesen wurde. 



.40. Systeme III. Ordnung sind nur dann möglich, wenn 3-zählige Deckaxen vor- 

 handen sind. Da aber für Triparalleloeder 3-zählige Symmetrieaxen keinenfalls als Ele- 

 mente der Verbandsymmetrie auftreten können, so bleiben lediglich die- polaren 3-zähligen 

 Schraubenaxen zulässig. In einem und demselben System können dann niemals polare 

 Axen von entgegengesetztem Sinne auftreten, da Kraft der Sätze § 15 die resultiren- 

 den Symmetrieelemente 3-zählige Symmetrieaxen sein würden, welche aber hier aus- 

 geschlossen sind. 



Die einzige hier zulässige Ableitungsform ist — — , — , wo a und a' verschiedene 



° ° a' a' a' 



Zahlen sind. Die Zähler dieser Ausdrücke sind nothwendiger Weise die gleichen, gemäss der 

 Annahme, dass 3-zählige Deckaxen vorkommen. Solche Systeme können also aus lauter 



