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parallelen ebenen Netzen I. Ordnung bestehen, welche zu den Deckaxen senkrecht sind. 

 Daraus folgt, dass solche Systeme für die kubische Syngonie unzulässig sind. 



Es bleibt also allein die hexagonale Syngonie zu berücksichtigen, und zwar die 

 Symnietriearten der trigonalen Hyposyngonie. 



Die 16. Symmetrieart ist offenbar zulässig, indem hier als Verbandsymmetrieelemente 

 rechte resp. linke 3-zählige Axen auftreten. Die Lage dieser Äxen kann leicht auf Grund 

 des Ergänzungssatzes § 15 ermittelt werden, indem man sich zuerst eine explicite 3-zählige 

 Symmetrieaxe denkt, und dann dem Satze gemäss die resultirende Axe der ihr zukommenden 

 elementaren, rechten oder linken Drehung mit der Translation aufsucht. Für die Axen 

 von entgegengesetztem Windungssinn werden auf diese Weise verschiedene Lagen gefunden. 

 Für die rechten Axen findet man den Schnittpunkt einer Axe mit den Flächen a und c 

 (Fig. 18), indem man auf der rechten Mittelkante der Fläche a den Mittelpunkt e durch Gerade 

 mit den Scheitelpunkten A verbindet, und dann bestimmen die Schnittpunkte d und d' dieser 

 Geraden A e mit den horizontalen Diagonalen der Flächen die Lage einer rechten 3-zähligen 

 Schraubenaxe. Für die linken Axen wird eine analoge Construction gelten mit dem einzigen 

 Unterschied, dass man dazu den Punkt e auf der linken Mittelkante auswählt (Fig. 19). 



Unter anderen Symmetriearten sind nur diejenigen zulässig, deren Systeme aus den 

 eben beschriebenen zwei Systemen sich durch Hinzufügung der expliciten Symmeti'ieelemente 

 ableiten lassen (§ 31). Da aber in diesen Systemen lediglich die polaren Axen mit einem 

 Windungssinn auftreten, so ist die Hinzufügung der Elemente der geraden Symmetrie 

 (Symmetrieebenen, Gleitebenen, zusammengesetzte Symmetrie) ausgeschlossen. 



Es bleibt allein die Hinzufügung der 2-zähligen Symmetrieaxen möglich, was der 

 19. Symmetrieart entspricht. Die Anwendung der Betrachtungen des § 31 kann den directen 

 Beweis für die Möglichkeit der betrefi'enden zwei Systeme beibringen. Sämmtliche anderen 

 Annahmen sind unzulässig. 



41. Die Systeme IV. Ordnung sind nur dann möglich, wenn die Symmetriegrösse durch 

 eine Zahl 4» ausgedrückt werden kann, wo n eine ganze Zahl, inclusive der Einheit, ist. 

 Die niedrigste hierzu gehörende Syngonie ist die monokline, und zwar die 5. Symmetrieart. 



Dazu gehören folgende Ableitungsformen : Für phanero topische Systeme erhalten wir 

 \ah (resp. ah\ u. dgl.), wo a und h verschiedene Zahlen sind, ahh (resp. aah u. dgl.) und 

 endlich ahc, wo ahc drei Zahlen bedeuten, welche zwar verschieden, aber nicht unabhängig 

 sind, da sonst dieselben sich sämmtlich auf 2-zählige Symmetrieelemente beziehen würden und 

 wir ein System VIII. Ordnung erhalten hätten; für die Systeme IV. Ordnung muss ein z. B. a 



