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entsprechendes Symmetrieelement in Bezug auf die durch h und c ausgedrückten Symmetrie- 

 elemente das resultirende Symmetrieelement sein. 



Für kryptotopische bysteme erhalten wir — ; 1; 1, —: — ; 1, — ; — : — , — • b-. 1, — • b\ o, 

 fj i a' a" a' a' a' a' a' a' 



— ; a\b. — ; -; i, wo stets zwischen 3 Zahlen a, a' und i die eben angedeutete Relation 

 a' a' a' 



besteht. 



Hierzu gehören nur zwei Grundtypen 2 % III und 3 % III. 



Wenn man den Standpunkt der scheinbaren Symmetrie berücksichtigt, so unterscheidet 



man für den ersten Typus \ab von al>\. ahb von aat, —,11 von \^,\, —hl von l^c 

 •' a' o' a' b' 



und von a^-A, —.hb von a-,-a\ die Ableitungsformen — — 1 und — —b sind aber für den- 

 b' a' b' ° a' a' a' a' 



selben unmöglich (1. Satz, § 29). 



Für den zweiten Typus sind aber die Ableitungsformen lab, abc, -, & 1, ^ r, ^ un- 

 möglich, da die Richtungen zweier Colonnen nicht die singulären sind, und speciell die zwei 

 letzten in Folge davon, dass unter drei zu Gebote stehenden Symmetrieelementen zwei der- 

 selben als schneidende Verbandsyrametrieelemente auftreten und desshalb die Gleichheit 

 zweier charakteristischer Zahlen bewirken. 



Alles dies berücksichtigt, wollen wir für jede Ableitungsform die entsprechenden 

 charakteristischen Zahlen einführen. 



Das, was in den vorigen Systemen ganz ausnahmsweise auftrat, und zwar die Er- 

 scheinung der Systeme mit gleichen Symbolen, ist jetzt als ein gewöhnlicher Fall zu 

 bezeichnen. Jedes Mal wird aber die Verschiedenheit der Systeme durch Verschiedenheit der 

 Varietäten der Ableitungsformen bewiesen. 



42. Für die Systeme der rhombischen Syngonie sind dieselben Ableitungsformen giltig, 

 so dass bei der Aufsuchung nur die bezüglichen Elemente der Verbandsymmetrie zu berück- 

 sichtigen und das Princip der scheinbaren Symmetrie nicht ausser Acht zu lassen sind. 



Speciell für die 8. Symmetrieart ist noch die explicite Symmetrie untergeordneter 

 Symmetriearten einzuführen. Mit der Einführung des Inversionscentrums fallen von selbst 

 kryptotopische Ableitungsformen weg. 



43. Bei der Aufsuchung der Systeme der tetragonalen Syngonie sind zwar die Ableitungs- 

 formen dieselben, aber es kommt ein besonderer Umstand hinzu, indem die charakteristischen 

 Zahlen 3 und 7, ebenso wie 3' und 7' immer unter einander verbunden auftreten, da schon 

 eine dieser Zahlen die Lage des 4-zähligen Symmetrieelementes eindeutig bestimmt. Wenn 

 a = 3, so muss a' = 7, wenn ft = 3, so muss c=7 sein; wenn & = 3', so ist c = 7', 

 wenn a = 3', so müssen die Zahlen 3' und 7' vereinigt auftreten, und 5 tritt dann 

 explicit auf. 



Nimmt man in Rücksicht, dass für die Systeme IV. Ordnung sämmtliche charak- 

 teristische Symmetriezahlen sich in 4 Gruppen sondern, von denen eine die explicite Symmetrie 

 ausdrückt, und nur drei andere Gruppen zu Gebote stehen, so findet man leicht, dass 

 nur dann zwei solche Gruppen, welche weder 3, 7 noch 3', 7' enthalten, entstehen können, 

 wenn diese Zahlen vereinigt in einer Gruppe enthalten sind. Das ist ja aber wieder nur 

 dann der Fall, wenn 5 explicit auftritt. 



