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Von diesem Fall abgesehen, sind nur zwei Annahmen zulässig: a) entweder a = 3 

 (oder 7), dann haben wir ein System mit lauter polaren Axen in centraler Lage und es sind 

 die Sätze § 29 zu Hilfe zu nehmen, b) oder & = 3, c = 7 (auch i = 3', c = 7'); dann ist 

 eine Schicht IV. Ordnung bestimmt, und nur ist die Auswahl der anderen Elemente der 

 Verbaudsymmetrie dadurch beschränkt, dass die ihnen entsprechenden Deckoperationen die 

 peripherischen 4-zähligeu Symmetrieaxen zur Deckung bringen müssen. 



Treten die beiden Zahlen vereinigt auf, so erhalten wir für die Systeme die analogen 

 Einschränkungen. Treten endlich diese Zahlen gar nicht auf, so ist das der Fall der peri- 



pherischen 4-zähligen Schraubenaxe mit der Deckschiebung - , und wir erhalten wieder die 



analogen Beschränkungen in der Auswahl der übrigen Symmetrieelemente. 



Für die hierzu gehörenden Systeme ist die Annahme der der singulären Ebene parallelen 

 kryptotopischen Colonnen ausgeschlossen, da wir derselben gemäss Schichten von mindestens 

 VIII. Ordnung erhalten hätten, was für diese Systeme unzulässig ist. 



44. Für die Systeme der hexagonalen Syngonie ist unentbehrlich die 3-zählige Symmetrie- 

 axe explicit anzunehmen. Die Symmetriegrösse würde dann wenigstens 12 enthalten, was 

 allein für die 20. Symmetrieart der Fall ist (unter den Systemen der trigonalen Hyposyngonie). 



Die einzige zulässige Ableitungsform ist — — — . Demgemäss lässt sich ein einziges System 



m Ch Ol (X 



nden. 



Uebrigens kann sich dasselbe System aus dem monoklinen System (5. Symmetrieart) 



3 ;f 1 (1 IIl3)'4,5, durch Einführung der expliciten 3-zähligen Symmetrieaxe ableiten lassen. 



45. Da auch in den Systemen der kubischen Syngonie die 3-zählige Symmetrieaxe noth- 

 wendiger Weise explicit auftritt, so sind dieselben aus denjenigen abzuleiten, denen die einzige 

 hier zulässige Ableitungsform a a^ a^ (resp. ah c) angehört und deren Symmetrieart sich aus 

 dieser durch Verschwindenlassen der 3-zähligen Symmetrieaxe ergiebt. Also sind für die 

 28. Symmetrieart die Systeme 8, 9 und 10 der 6. Symmetrieart, für die 29. Symmetrieart 

 die Systeme 8, 9, 10 der 8., für die 30. Symmetrieart die Systeme 11 und 12 der 14., 

 für die 31. Symmetrieart die Systeme 15 und 16 der 13. und für die 32. Symmetrieart 

 die Systeme 9 und 10 der 15. Symmetrieart zu berücksichtigen, und zwar der Prüfung 

 zu unterziehen, ob die Einführung der 3-zähligen Symmetrieaxe explicit zulässig ist. 



Nun ist leicht zu constatiren, dass dies wirklich für die Systeme 6 (1 III4), 5 (1 IIIJ, 

 6^(1^1114), 2,{x^){\7illl^\ 6^(1;^' III)', 11(3111), ll;tl(3zIII) der Fall ist. Auf 

 diese Weise erhalten wir die aufgestellten Systeme. 



46. Es ist offenbar, dass die Systeme VI. Ordnung nur dann möglich sind, wenn 

 die 3-zählige Deckaxe nicht explicit, sondern als ein Element der Verbandsymmetrie, also in 

 der Form polarer Schraubenaxen auftritt. Dabei ist aber die gerade Symmetrie ausge- 

 schlossen. Folglich sind solche Systeme für eine einzige Symmetrieart und zwar die 19. 



zulässig. Da aber für die hexagonale Syngonie überhaupt nur die Ableitungsform — — — 



et Oj 0/ 



zulässig ist, so können die Schraubenaxen nicht in der der schneidenden Symmetrie- 

 elemente vorkommen, sondern nur in versteckter Form. Als Symmetrieelemente des Ver- 

 bandes treten jetzt die 2 -zähligen Deckaxen, und zwar theils als peripherische, theils als 

 schneidende auf. 



Auf Grund dieser Betrachtungen findet man die aufgestellten Systeme. 

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