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47. Für die Systeme VIII. Ordnung muss die Symmetriegrösse wenigstens 8 betragen, 

 oder eine vielfache Zahl davon sein. Die niedrigste hierzu gehörende Syngonie ist die 

 rhombische und zwar die 8. Symmetrieart. 



Die einzige Ableitungsform der phanerotopischen Systeme ist ahc, wo ahc charak- 

 teristische Zahlen sind, welche sämmtlich unabhängige Symmetrieelemente ausdrücken, d. h. 

 kein von einem dieser Zahlen ausgedrücktes Syraraetrieelement kann ein resultirendes der 

 beiden anderen sein. Von beiden hierzu gehörenden Grrundtypen 4;(III und 5;t;III kann dies 

 nur für den ersteren der Fall sein, da für den zweiten solche drei Symmetrieelemente fehlen, 

 welche zugleich verschieden sind und von welchen keines zugleich ein schneidendes ist; dies 

 ist nämlich für die besondere Schicht der Fall, deren Colonnen nicht singulär sind; für diese 

 Schichten als Elemente der Verbandsymmetrie können nur 5' und 5 als die peripherischen, 

 und 1' als das centrale dieser Bedingung genügen. Die Annahme zweier vOn diesen 

 Elementen würde aber die Annahme eines jeden unabhängigen dritten Elementes der Verband- 

 symraetrie ausschliessen. Diesem Typus würden somit lediglich kryptotopische Systeme 

 entsprechen. 



Für eine singulare kryptotopische Colonne, z. B. die Colonne — , sind die Symmetrie- 



(X 



demente 5, 2 und 6, als centrale Verbandsymmetrieelemente, ausgeschlossen (diese Ele- 

 mente treten central nur in versteckter Form auf, d. h. kryptotopisch) ; es sind also nur 



2' 5' 5' V 



die Combinationen — , — , — , — zulässig; in allen tritt central kryptotopisch ein Symmetrie- 

 \) y Li Li 



element (Schraubenaxe resp. Gleitebene) auf, und dann sind Kraft des 1. Satzes, § 29, die 



übrigen Colonnen phanerotopische. 



Wenn aber eine nicht singulare Colonne kryptotopisch ist, so sind die beiden gleich- 



werthigen Colonnen kryptotopisch, und dies ist speciell für den Typus 5;^ III der Fall. Da 



aber hier nothwendiger Weise die schneidenden Elemente der Verbandsymmetrie auftreten, 



so sind die zu entgegengesetzten Grenzflächen gehörenden nothwendiger Weise die centralen, 



d. h. 5' oder 5. 



Für die Systeme 1. Art erhalten wir als Ableitungsformen — &1, wo h von a und a' 



a ^ 



unabhängig ist, oder ~ & c, wo c von a, a' und b nicht unabhängig zu sein braucht (was 



übrigens unmöglich ist) und sogar mit b gleich sein kann, aber keineswegs mit a oder a' (§ 30). 



Für die Systeme 2. Art erhalten wir die Ableitungsform «r,,-,, wo a von b und b' 

 unabhängig ist. 



Bei der Anwendung der angegebenen Principien entsteht uns nämlich bei der Auf- 

 suchung der Systeme abc eine specielle Schwierigkeit in Anbetracht der von dem Stand- 

 punkte der scheinbaren Symmetrie aufgestellten Forderungen, da säramtliche drei Colonnen 

 in dieser Hinsicht gleichwerthig sind. Diese Schwierigkeiten werden durch die Anwendung 

 einer speciellen Anordnung der Aufsuchung beseitigt. Zuerst nimmt man als Elemente der 

 Verbandsymmetrie die Symmetrieebenen (1) sämmtlich au, dann folgen Systeme mit nur 

 zwei peripherischen Symmetrieebenen (2, 3), weiter diejenigen mit einer einzigen Symmetrie- 

 ebene (4, 5, 6, 7, 8, 9), endlich die Systeme mit Inversionscentrum, aber ohne Symmetrie- 

 ebenen (10, 11, 12, 13). Nun werden auch die Gleitebenen eingeführt, und zwar zuerst 



