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eine Syrametrieebene und zwei Gleitebenen (14), weiter eine Symmetrieebene und eine Gleit- 

 ebene (15, 16, 17) und endlich das Inversionscentrum mit einer Gleitebene (18, 19, 20, 21, 

 22, 23). Somit ist die Ableitung sämmtlicher Systeme erschöpft, in welchen Symmetrieebenen 

 und Inversionscentrum vorkommen. Nun bleiben die Systeme mit Deckaxen und Gleitebenen 

 allein aufzusuchen. Demgemäss werden zuerst das System mit drei Gleitebenen (24), die 

 Systeme mit zwei Gleitebenen (25, 26, 27) und die mit einer einzigen Gleitebene (28, 29, 

 30, 31, 32, 33) aufgesucht. Auf diese Weise können wir uns vergewissern, dass dabei weder 

 ein System übersehen ist, noch zwei der Systeme identisch seien. 



48. Unter den Systemen der tetragonalen Syngonie giebt es auch phanerotopische 

 mit der Ableitungsforra a&c, aber hier kann a weder 3, 7 noch 3', 7' in sich enthalten; 

 wäre dies der Fall, so würde die Einführung eines einzigen Elementes der Verbandsymmetrie 

 das ganze System eindeutig bestimmen, und dann das S3'stem IV. Ordnung zu Stande kommen. 



Sind die Systeme kryptotopisch, so sind diejenigen mit der kryptotopischen Colonne 

 singulärer Richtung von denjenigen mit kryptotopischen Schichten zu unterscheiden. Für 



die ersteren gelten als die Ableitungsformen —hh und — hc, wo natürlich h nicht unab- 



a' a' 



hängig von c ist, da schon allein zwei erste Glieder dieser Form das System vollständig 



h c 

 bestimmen. Für die letzteren gelten die Ableitungsformen ctj-,^,, wo b, c die Zahlen 3,7 



resp. 3', 7' in sich enthalten. 



Hier treten aber zuerst die Colonnen VIII. Ordnung auf. Dies ist nur möglich, wenn 

 die polaren 4-zäliligen Schraubenaxen kryptotopisch auftreten. Für solche Systeme gelten 



die Ableitungsformen —11 und ~hh, wo a, a' keine Elemente der geraden Symmetrie 



sein können, also nur 2', 4', 6', 8' bezeichnen. Die erste von diesen Formen gehört den 

 Systemen mit Schraubenaxe eines und desselben Windungssinnes, die zweite den Systemen 

 mit Axen von verschiedenem Windungssinne an. üeberhaupt ist dies nur für die 13. Sym- 

 metrieart der Fall. 



Die Systeme der 15. Symmetrieart lassen sich aus den vorigen ableiten durch einfaches 

 Einführen der Elemente der expliciten Symmetrie. Das ist aber für die Systeme nicht der 

 Fall, wo 5 explicit auftritt, da wir für dieselben eine explicite Symmetrie besitzen, welche 

 der Verbandsymmetrie untergeordnet ist. Diese Systeme können phanerotopische nicht 

 sein, da wir sonst die Systeme IV. Ordnung erhalten hätten; dem 1. Satze § 29 zu Folge 

 können aber die singulären Schichten dieser Systeme keine kryptotopische Colonnen ent- 



(t ci 



halten. Es bleiben also die Formen ^hh oder —,hc allein zulässig. Hier sind für a und a' 



a' a' 



centrale Elemente der Verbandsymmetrie ausgeschlossen, also peripherische allein zulässig. 

 Für h wären die centralen Symmetrieelemente singulärer Richtung ausgeschlossen, und zwar 

 auf Grund des 1. Satzes, § 29, aber für die Gleitebene 1' ist dies nicht der Fall, da die 

 ihr zukommende Gleitrichtung keine singulare ist. Auch nicht singulare horizontale 

 Schraubenaxen sind nur dann zulässig, wenn sie für die Glieder der kryptotopischen Colonne 

 keine neue Verbandsymmetrieelemente mit sich einführen^). 



') Was die Systeme (15) (1 IIY)]., (17) (1 III)^ u. a. betriiFt, in welchen mehr als zweizählige polare 

 Schraubenaxen kryptotopisch auftreten, so erleiden für dieselben die Sätze § 23 in ihrer Anwendung eine 

 Modification. Die Sache ist aber so einfach, dass es vielleicht ganz genügend ist, darauf hinzuweisen. 



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