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49. Was die Systeme der kubischen Syngohie betrifft, so sind die der 28. Symmetrieart 

 von vornherein ausgeschlossen, die der 29. aus den Systemen der 8., die der 30. aus denen 

 der 14., die der 31. aus denen der 13. und die der 32. aus denen der 15. Symmetrieart 

 auszuwählen, und zwar unter denjenigen, welche die Einführung der 3-zähligen Symmetrieaxe 

 zulassen, welche noth wendiger Weise explicit auftritt. Daraus folgt zuerst, dass krypto- 

 topische Systeme von vornherein auszuschliessen sind. Aus den Systemen der 8. Symmetrie- 

 art bleiben die Systeme 1 und 24 zu berücksichtigen, da sich sämmtliche übrigen Systeme 

 durch verschiedenartige Elemente der Verbandsymmetrie auszeichnen. Aus den Systemen 

 der 14. Symmetrieart sind allein 1. und 2., aus den Systemen der 13. Symmetrieart 1. 

 und 2. zu berücksichtigen; endlich lassen sich die Systeme der 32. Symmetrieart aus den 

 vorigen durch Hinzufügung der Symmetrieelemente 5', 8 und 4' ableiten. 



50. Die Möglichkeit des Auftretens der Systeme XVI. Ordnung ist von vornherein auf 

 die 15. und 32. Symmetrieart beschränkt. Die Systeme der letzteren, wenn dieselben über- 

 haupt vorhanden sind, würden sich von den ersteren ableiten lassen. 



Der Definition dieser Systeme zu Folge ist es unmöglich unter ihnen phanerotopische 

 zu treffen, da solche höchstens VIII. Ordnung wären. Hier haben wir also wieder diejenigen 

 mit der kryptotopischen singulären Colonne und die mit der phanerotopischen Colonne zu 



O O u C 



unterscheiden. Den ersteren liegen die Ableitungsformen — , hc und -- 7- -- zu Grunde. Der 



Gang der Ableitung besteht daxün, für a und a' die zulässigen charakteristischen Zahlen 

 aufzufinden und dann eine zulässige Zahl für h aufzustellen; sämmtliche andere Zahlen 

 werden von selbst gefunden, da dieselben von den ersteren abhängig sind. 



Die vier letzten sind diejenigen besonderen Systeme, in welchen in der Richtung der 

 singulären Colonne polare 4-zählige Schraubenaxen kryptotopisch auftreten, also VHI. Ord- 

 nung sind. 



Aus der auf diese Weise dargestellten Liste der Systeme XVI. Ordnung ist leicht zu 

 ersehen, dass die 3-zählige Symmetrieaxe sich nicht explicit einschalten lässt. Daraus ist 

 zu folgern, dass die Systeme dieser Ordnung für die kubische Syngonie nicht existieren. 



IV. Triparalleloedersysteme II. und höherer Ordnung. 



Ab- 



leitungs- 



form 



Sym- 

 metrie- 

 art 



Sym- 

 metrie- 

 grösse 



Nr. 



Typus 

 I. Ordnung 



Charakteristische Zahlen 



Explicite 

 Symmetrie 



Verbandsymmetrie- 



Symbol 

 des Systems 



all 

 aaa 



Triparalleloedersysteme II. Ordnung. 

 I. Trikline Syngonie. 



2 2 1 



2 2 2 



2 2 3 



Ijrlll 

 l^rlll 

 l^III 



a = 5' 

 rt = 5' 

 a = b' 



l;r(lIII)s 

 ljr(lIII)<^ 

 Ijr(lIII) 



