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und die liexagonale Syngonieart ausgeprägt (für die letztere zeigen mit diesen Systemen auch 

 die Triparalleloedersysteme auffallende Analogie). Umgekehrt tritt am schärfsten der Unter- 

 schied für die kubische Syngonie zu Tage, da z. B. Systeme II. Ordnung nur unter den 

 Hepta- und nicht unter den Hexaparalleloedersystemen bestehen. 



Was speciell die Systeme II. Ordnung betrifft, so ist offenbar, dass allein die Ableitungs- 

 formen all (resp. lal, Ha), laa (resp. ala, aal) und aaa denkbar sind. Für die trikline 

 Syngonie haben wir die Gleichwerthigkeit der Ableitungsformen all und aaa für die Hexa- 

 paralleloeder und all und laa für die Heptaparalleloeder, indem die ersten wie die letzten 

 sich auf triparallelogonale primäre Schichtensysteme, aaa für Heptaparalleloeder auf Gitter- 

 systeme, laa für Hexaparalleloeder auf diparallelogonale Schichtensysteme beziehen. Da 

 aber die Schichten I. Ordnung der Schichtensysteme nur den singulären Flächen ent- 

 sprechen können, welche für die kubische Syngonie unmöglich sind, so ergiebt sich daraus 

 von selbst, dass für dieselbe die Hexaparalleloedersysteme unmöglich sind. 



Sonst ist der Ableitungsgang der Systeme II. Ordnung so einfach, dass er schwerlich 

 aufklärender Bemerkungen bedarf^). / 



') Bei dem Vergleich ganz verschiedener Paralleloedersysteme ersehen wir als einen recht allge- 

 meinen Fall, dass denselben ein und dasselbe regelmässige Punktsystem zu Grunde liegt, was übrigens 

 aus den Symbolen direct einleuchtend ist. Da aber sämmtliche regelmässige Punktsysteme sich unter 

 einander durch das Gesetz der Vertheilung der Symmetrieelemente scharf unterscheiden, und auch um- 

 gekehrt diejenigen, welche dieselben Symmetrieelemente in derselben räumlichen Vertheilung enthalten, 

 als ein einziges aufgefasst werden, so zeigt dieser Umstand, dass die Verschiedenheit solcher Systeme 

 nicht in dem Gesetz dieser Vertheilung ihren Grund findet. 



Von Anfang an wurde in dieser Arbeit hervorgehoben, dass jetzt nicht nur allein die Symmetrie- 

 elemente und deren Vertheilung im Räume, sondern auch die Vertheilung der Colonnen und Schichten 

 und deren Verhältniss zu den Symmetrieelementen in Betracht zu ziehen sind. Es wurde von Anfang an 

 festgestellt, dass diese letzte Vertheilung in den Systemen der Paralleloeder verschiedener Art verschieden 

 ist. Dabei bleibt es überhaupt gleichgiltig, ob wir mit primären oder beliebig secundären Paralleloedern 

 operiren, da diejenigen Constructionen, welche hierzu dienen, keinen Einfluss auf die Vertheilung der 

 Colonnen und Schichten im Räume besitzen. 



Aber es ist am Platze, darauf hinzuweisen, dass es besondere Constructionen giebt, welche dazu 

 führen, die Form der als primär aüfgefassten Paralleloeder zu ändern, oder sogar die Paralleloeder einer 

 Art in eine andere zu überführen. 



Fig. 20. 



Fig. 21. 



Um die Constructionen I. Art an einem Beispiel zu veranschaulichen, vergleiche man die in der 

 Fig. 20 dargestellte Construction. Man sieht, dass sie zu denjenigen gehört, welche ein primäres 

 Paralleloeder in ein secundäres- verwandeln; wenn aber auch diese Construction keinen Einfluss auf 

 die Vertheilung der Schichten und Colonnen besitzt, so wird durch dieselbe doch die Form des Parallele- 



