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52. Die Systeme III. Ordnung sind den Triparalleloedern so nahe analog, dass jetzt 

 nur auf die Ausführungen des § 40 Bezug zu nehmen ist. 



Was nun die Lage der polaren Schraubenaxen betrifft, so ist leicht zu beweisen, 

 dass ihre Schnittpunkte mit den Grenzebenen durch folgende Construction bestimmt werden. 



Für das Hexaparalleloeder (Fig. 22) ziehe man die längere Rhombendiagonale ab, hc 

 und ca und von Punkt Ä aus die Geraden Äe und Äe', wo e und e' die Mittelpunkte der 

 entsprechenden Kanten sind. Die Schnittpunkte r bestimmen die rechten, und die Schnitt- 

 punkte l die linken Axen. 



Fig. 22. 



Fig. 23. 



Für das Heptaparalleloeder (Fig. 23) ziehe man die Diagonalen aa% hh' und gc\ und man 

 verbinde die Eckpunkte -4, A\ B, JB\ C und C" der zur Axe senkrechten Grenzebene resp. 

 mit den Mittelpunkten e, e', /", f, g und g' der Kanten. Die Schnittpunkte r bestimmen 

 die Lage der rechten, die Schnittpunkte l die der linken Axen. 



eders wesentlich verändert; es entsteht diejenige Form, welche vom. Verfasser seit den 70®'' Jahren als 

 verlängertes Hexaparalleloeder bezeichnet wurde. 



Noch tiefgreifender ist die in der Fig. 21 veranschaulichte Construction, welche, obgleich sie ebenfalls 

 zu denjenigen gehört, welche die primären Paralleloeder in die secundären verwandeln, aber jetzt, dem 

 Wesen nach, das Paralleloeder einer Art, und zwar das Tetraparalleloeder, in ein Paralleloeder anderer 

 Art, in das Triparalleloeder, verwandelt, oder auch umgekehrt, das Triparalleloeder in das Tetrapai-alleloeder. 

 Als Eesultat dieser Construction erhält man eine ganz andere Vertheilung der Colonnen und Schichten. Man 

 sieht aber, dass man dieses Eesultat nicht stufenweise, sondern nur auf einmal, abrupt, erzielt; es giebt 

 keine Uebergänge zwischen beiden exti-emen Fällen, und somit kann kein Zweifel entstehen, von welchem 

 Punkt an man anstatt des Tetraparalleloedersystems ein Triparalleloedersystem, oder umgekehrt, erhält. 

 Derartige Construetionen lassen sich auch für andere Paralleloederarten aufstellen. Auf diese Verhält- 

 nisse wurde vom Verfasser seit der Aufstellung der Theorie der regulären Plan- und Raumtheilung 

 hingewiesen (E. G. L. § 58). 



Zum Schlüsse sei noch erwähnt, dass unter den hier aufgestellten Systemen auch so nahestehende 

 vorkommen, dass es vielleicht in Frage gestellt werden kann, ob dieselben nicht als identische 

 aufzufassen wären. Hierzu gehören z. B. einerseits alle diejenigen Tri- und Tetraparalleloedersysteme, 

 in welchen die Einheiten asymmetrisch sind und zugleich Symmetrieebenen als die peripherischen 

 Elemente der Verbandsymmetrie auftreten, andererseits diejenigen, in welchen dieselben Symmetrie- 

 ebenen explicit auftreten, wenn dabei das zu Grunde liegende regelmässige Punktsystem dasselbe bleibt. 

 Es giebt in dieser Hinsicht analoge Fälle, in welchen die 2-zählige Symmetrieaxe einerseits peripherisch, 

 andererseits explicit auftritt. Analoges gilt für Triparalleloedersysteme mit asymmetrischen Einheiten 

 und peripherischen 4-zähligen Symmetrieaxen u. s. f. In allen derartigen Fällen sind die Systeme zwar 

 durch entsprechende Symbole von einander scharf zu unterscheiden (die Systeme erweisen sich noth- 

 wendiger Weise als zu verschiedenen Ordnungen zugehörig), aber denselben liegen nicht nur 

 identische regelmässige Punktsysteme zu Grunde, sondern auch die Vertheilung der Schichten und 

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