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53. Da die Auffindung der Systeme IV. Ordnung umständlicher ist, wollen wir die- 

 selbe etwas ausführlicher angeben. 



Drei Zahlen abc der Ableitungsform können keineswegs säramtlich von einander un- 

 abhängig sein, da dies mindestens das System VIII. Ordnung bedeuten würde. 



Betrachten wir zuerst die phanerotopischen Hexaparalleloedersysteme. 



Keine von den Zahlen b und c kann gleich 1 sein. Wenn eine davon gleich 1 wäre, 

 so würden wir eine Colonne I. Ordnung und nicht singulärer Richtung haben; eine andere 

 gleichwerthige Colonne I. Ordnung würde die Entstehung einer Schicht I. Ordnung 

 bedingen, und das System wäre kryptotopisch. Auch keine von den Zahlen c und b kann 

 gleich a sein, da wir sonst eine Colonne nicht singulärer Richtung erhalten hätten, und 

 folglich das System ein kryptotopisch es wäre. 



Für Heptaparalleloedersysteme haben wir, dass keine der drei Zahlen gleich 1 sein 

 kann, und zwar aus demselben Grunde. Auch für sie kann a weder b noch c gleich sein, 

 da diese Gleichheiten die Entstehung der Reihen I. Ordnung und nicht singulärer Richtung 

 bedingt hätten, und zwei gleichwerthige Colonnen I. Ordnung würden die Entstehung eines 

 Schichtensystems bedingen. 



54. Wenn eine Colonne höherer Ordnung -- vorhanden ist und eine andere durch 



b . . "" 



charakteristische Zahlen j- bestimmt wird, so folgt, dass, wenn b = a, b nicht gleich b' 



sein kann; wäi-e dies der Fall, so würden wir ein Netz I. Ordnung haben, welchem auch 

 die Einheit a' angehört hätte, und dann würde auch a gleich a' sein, was der Annahme 

 widerspricht. 



Daraus folgt, dass wenn eine Colonne höherer Ordnung — vorhanden ist, 



d 



keine phanerotopische Colonne durch eine der Zahlen a oder a' charakterisirt 

 werden kann. 



Wenn a =^b, so ist leicht einzusehen, dass auch a' = b' sein muss. In der That 

 bestimmen die Einheiten a und b eine Reihe I. Ordnung; a' und b' gehören aber einer 

 parallelen Reihe I. Ordnung an und sind folglich unter einander gleich. 



Colonnen darf als analog angesehen werden. Dem Wesen nach besteht hier der Unterschied darin, dass, 

 was in einem Fall für eine einzige mit expliciter Symmetrie begabte Einheit gilt, in anderem Fall für 

 eine Gesammtheit von 2, von 4 Einheiten angenommen wird, welche dabei ebenso viel in ihrer expliciten 

 Symmetrie verlieren. 



Ich halte aber denjenigen Standpunkt in rein geometrischer wie in praktischer Hinsicht (in Bezug 

 auf die 'Anwendungen auf die Theorie der Krystallstructur) als allein richtig, von welchem aus solche 

 Systeme als verschiedene behandelt werden. 



Vom rein geometrischen Standpunkte können wir nämlich als Einheiten ebenso asymmetrische wie 

 durch verschiedene Symmetrieelemente ausgezeichnete Einheiten annehraen, und dieser Umstand allein 

 ist hinreichend, um den Unterschied der Systeme festzustellen. Dabei aber ergiebt sich auch der Unter- 

 schied in den gegenseitigen Verhältnissen der Symmetrieelemente und Colonnen resp. Schichten. 



Vom Standpunkte der Anwendungen ist natürlich die Frage, was eigentlich für eine Einheit 

 der Krystallstructur anzunehmen wäre, nicht einstimmig und unwidersprechlich aufgelöst, und es bleibt 

 noch viel Raum, diese Frage von verschiedensten Seiten zu behandeln und in erster Linie die physi- 

 kalischen Folgerungen von verschiedenen Annahmen zu erschöpfen. Es wäre also nicht zweckmässig, 

 von Anfang an Dinge zu identificiren, welche nach einem längeren Ueberlegen und Experimentiren al» 

 sehr verschiedene sich erweisen können. 



