547 



Für Systeme IV. Ordnung ist die Annahme zweier verschiedener Colonnen — ; und =- 

 J ° a' b' 



höherer Ordnung unmöglich, da jetzt überhaupt nur drei verschiedene charakteristische 

 Zahlen zur Verfügung stehen. 



55. Bei der Auswahl der charakteristischen Zahlen sind folgende Beschränkungen zu 

 berücksichtigen. 



Für das Hexaparalleloeder sind die Annahmen a = 3, « = 7, a = 3', a = 7', a = 4 aus- 

 geschlossen, da diese Annahme das Auftreten der entsprechenden Symraetrieelemente in 

 expliciter Form zur Folge liätte, und dann würden sie überhaupt kein Element der Verband- 

 symmetrie sein. Ist c = 3', so ist & = 7', a = 5. 



Für das Heptaparalleloeder ist nothwendig anzunehmen, dass bei c = 3, a = 7 und 

 bei a = 3, b = 7, und umgekehrt (bei a = 7, c = 3 und bei b = 7, a = 3). 



56. Für Systeme der monoklinen Syngonie sind verschiedene Grundtypen zu berück- 

 sichtigen, und zwar 3;^ VI und 3x^1' für das Hexaparalleloeder, 3;|jVII und 3x^11' für 

 das Heptaparalleloeder. 



Für den Typus Sx^l mit Verbandsymnietrieelement 1', 5 und 5' erhalten wir 

 direct sämmtliche phanerotopische Systeme durch einfache Permutation der Zahlen, wobei 

 die Zahlen b und c als gleichwerthige nicht permutirt werden. Dies hat darin seinen 

 Grund, dass man weder b = c, noch a = b (resp. c) setzen kann. 



5 



Für die kryptotopisehen Systeme kann man a nur gleich — setzen, da 1' central ist; 



5 5' . 5 . 



h kann ausser — noch — , aber nicht — gleich gesetzt werden. 



öl I. 



Für den Typus 3;«; VI' und phanerotopische Systeme ist ebenfalls weder & = c noch 

 a = b (resp. c) zu setzen erlaubt, und nun bleiben die Zahlen b und c zu permutiren. 



In den kryptotopisehen Systemen kann die Colonne a überhaupt nicht kryptotopisch 



4 

 auftreten, da weder a = 4 noch a =■■ 8' zu setzen erlaubt ist. Für b ist das Setzen — nicht 



o 



zulässig (daraus würde nothwendig 5' explicit erscheinen). Es bleiben also zwei zulässige 



b b' h b' 



Annahmen übrig, und zwar — = — - und 7-, = -r • 



b' 8' 0' 4 



Für den Typus 3;|;VII der Heptaparalleloeder haben wir mit dem Typus 3;fVI so 

 auffallende Analogie, dass es nur der Wiederholung bedarf. 



Sämmtliche phanerotopische Heptaparalleloedersysteme IV. Ordnung sind überhaupt 

 Colonnensysteme, da dieser Raumfigur 7 Colonnen zugeordnet sind, während die Anzahl 

 der Verbandsymmetrieelemente 3 ist, und keine von ihnen zu mehr als einer Colonne 

 gehören kann. Nun existirt in dem Typus 3;^ VII' nur eine einzige (verticale) Colonne 

 singulärer Richtung; sie muss also nothwendig die Colonne I. Ordnung sein; daraus folgt 

 aber, dass b = c' und c = 6', also b ==b' =^ c^=- c'. Diese Bedingung führt aber dazu, 

 dass allein die Ableitungsform abb zulässig ist, und dass die vollständige Darstellung der 

 Systeme auf die einfache und vollständige Permutation der Zahlen 4, 5' und 8' hinauskommt. 



Für kryptotopische Systeme ist die Annahme & = 4 überhaupt unzulässig (da das 

 Symmetrieelement central wäre); auch ist die Annahme -; = ^, ausgeschlossen (dies würde 



Ol o 



70* 



