548 



5' 5' 



zur expliciten Symmetrie führen). Es bleiben also die Annahmen ^ = q-, und « = ^, 



4 

 und -=-. allein zulässig. 

 5 



57. Für die rhombische Syngonie ist zuerst hervorzuheben, dass nicht bei allen Grund- 

 typen entsprechende phanerotopische Systeme vorhanden sind, und zwar diejenigen nicht, welche 

 Grenzflächen besitzen, deren zugeordnete Colonnen von ganz allgemeiner Lage sind, d. h. 

 zu allen drei singulären Richtungen schief stehen. Solche Richtungen treten in der An- 

 zahl 4 gleichwerthig auf. Sehen wir von der 8. Symmetrieart ab, so finden wir, dass 

 sämmtliche Elemente der Verbandsymmetrie schneidende sind. Jedes derselben, einzeln 

 genommen, bestimmt eine Reihe resp. eine Colonne I. Ordnung; zwei derselben würden also 

 ein Schichtnetz resp. eine Schicht I. Ordnung bestimmen. Solche Systeme IV. Ordnung 

 können aber nicht phanerotopisch sein. Die Systeme der 8. Symmetrieart lassen sich aber 

 von den vorigen durch Einführen der expliciten Symmetrie ableiten. Dabei bleibt aber die 

 Ableitungsform unberührt erhalten. 



Somit sind die phanerotopischeu Systeme nur für die Typen 7 VI, 7 VII, 3 (p" VI, 

 3 93" VII, 895" VII', 7 ;{ VI und 7;^ VII zulässig. Für Hexaparalleloeder gilt dabei allein 

 die Ableitungsform abc, und für Heptaparalleloeder ahb. Für jede Symmetrieart sind 

 dann nur die charakteristischen Zahlen zu permutiren mit Rücksicht auf die scheinbare 

 Symmetrie. 



Die kryptotopischen Systeme lassen sich als solche, welche aus lauter Schichten resp. 

 Schichtnetzen I. Ordnung bestehen, besonders einfach ableiten, in Anbetracht, dass die 

 Schiehtebenen nur die singulären sein können, 



58. Für die Systeme der tetragonalen Syngonie ist die Möglichkeit des Auftretens der 

 Symmetrieelemente als die des Verbandes in ansehnlichem Grade beschränkt, und es erscheint 

 zweckmässig, die individuellen Eigenschaften dieser Elemente tabellarisch darzustellen. Die 

 peripherischen Symmetrieelemente stehen frei zur Verfügung. Die wenigen Beschränkungen 

 in dieser Verfügung sind oben (§ 55) erwähnt. Das Auftreten eines centralen Elementes 

 hat die Entstehung einer Colonne II. Ordnung zur directen Folge. Ist aber diese Colonne 

 von nicht singulärer Richtung, . so werden dadurch 4 Colonnen (in der Anzahl der gleich- 

 werthigen Richtungen) II. Ordnung bedingt ; folglich kommt das phanerotopische System 

 zu Stande. Speciell für 1' (a des Hexaparalleloeders) wird zuerst nur die singulare phanero- 

 topische Schicht bedingt; für dieselbe gilt aber jetzt der 1. Satz, § 29; obgleich die Gleit- 

 richtung nicht die singulare ist, so folgt doch aus dem Vorhandensein der 4-zähligen 

 Deckaxen nothwendig, dass stets zugleich beide unter einander senkrechte Gleitrichtungen 

 vorhanden sind. Auf Grund dieses Satzes ist die Folgerung aufzustellen, dass auch in diesem 

 Falle das System phanerotopisch ist. Kurz ausgedrückt, tritt ein einziges centrales Element 

 der Verbandsymmetrie auf, so ist das System phanerotopisch. Tritt ein schneidendes Element 

 in singulärer Richtung auf, so ist dadurch das Colonnensystem bedingt. Wenn aber die 

 Richtung nicht die singulare ist, so wird ein Schicht- resp. Schichtnetzsystem bedingt, 

 welches nicht das phanerotopische sein kann, sondern nur das kryptotopische. Wie aber jetzt 

 die Schichten nur singulär sein können, so muss die durch das gesagte Element bedingte 

 Colonne der singulären Ebene parallel sein. Solche Systeme lassen sich aber besonders 

 einfach darstellen. 



