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Nun lassen wir alle diese Eigenschaften der Symmetrieelemente tabellarisch zu- 

 sammenstellen. 



1' 2 6 2' 6' 4 8 4' 8' 3 7 3' 7' 5 5' 



aphs s ssxph — phxx — — — — 

 Hexaparalleloeder "Jbsphcs — xx s s — — — — c — 

 cscph — sxx s s — — • — — c — 

 a 3 X xsscph — s — — — — c — 



Heptaparalleloeder <{b s x xssphc s — — — — — c — 



c 8 X xssphc s — • — — — — c — 



In dieser Tabelle bedeutet ph phanerotopisches , c Colonnen-, s Schicht- resp. 

 Schichtnetzsystem, — bedeutet ein peripherisches Symmetrieelement und x ist ein un- 

 zulässiges. 



Die Aufsuchung der Systeme bezieht sich eigentlich auf die 9. und 11. Symmetrieart, 

 und auf diejenige der 10., 12., 13. und 14., welche explicit das Element 5 enthalten; die 

 übrigen lassen sich von den vorigen einfach durch Hinzufügung der expliciten 2-zähligen 

 Symmetrieelemente ableiten. Die Systeme der 15. Symmetrieart lassen sich ebenfalls aus 

 den vorigen durch die Einschaltung der 2-zähligen Symmetriearten in expliciter Form dar- 

 stellen; man braucht aber dabei nicht alle vier (und zwar 10., 12., 13. und 14) zu berück- 

 sichtigen. Es sind nur die untergeordneten Symmetriegruppen auszubilden (5., 6., 7., 9. 

 und 11. Symmetrieart), und dann nur diejenigen zu berücksichtigen, welche dazu ge- 

 eignet sind. Wie aber die einzuschaltenden Symmetriearten die Gruppen darstellen müssen, 

 welche nicht der Gruppe der Verbandsymmetrie untergeordnet sind, sondern davon unabhängig 

 sein muss, so können wir z. B. sämmtliche Systeme aus den Systemen der 12. Symmetrie- 

 art durch Einschaltung der Symmetrieelemente 2, 4, 6, 8, 2', 4', 6', 8' darstellen, und auf 

 diese Weise die 5., 6., 7., aber nicht die 9. und 11. Symraetrieart explicit einschalten; 

 speciell für die 9. müssen wir die Systeme der 14., und speciell für die 11. die 13. (oder 10.) 

 Symmetrieart berücksichtigen. 



59. Für die Systeme der hexagonalen Syngonie haben wir nur die für Triparalleloeder 

 geltenden Betrachtungen zu wiederholen. 



60. Die Systeme der kubischen Syngonie lassen sich säramtlich von denen der 

 28. Symmetrieart, und diese von denjenigen Systemen der 6. Symmetrieart durch die Ein- 

 schaltung der expliciten 3 -zähligen Symmetrieaxe ableiten, welche solche Einschaltung 

 zulassen. 



Für Hexaparalleloedersysteme sind also nur die Systeme 1, 2 und 3, und für Hepta- 

 paralleloeder diejenigen phanerotopischen Systeme der 6. Symmetrieart zu berücksichtigen, 

 welche dem Typus 6 VII zu Grunde liegen, solche sind aber nicht vorhanden. Daraus ist 

 zu schliessen, dass überhaupt Heptaparalleloedersysteme IV. Ordnung der kubischen Syngonie 

 nicht möglich sind. 



Von den drei zu Grunde liegenden Hexaparalleloedersystemen lassen nur 1. und 3. die 

 genannte Symmetrieaxe einschalten. Es sind also nur zwei Hexaparalleloedersysteme 

 IV. Ordnung der 28. Symmetrieart möglich. Die Systeme der 29. Symmetrieart lassen sich 

 von denselben durch Hinzufügung des Inversionscentrums ableiten; die beiden sind möglich. 

 Die Systeme der 30. Symmetrieart würden durch Einschaltung der Symmetrieebene 8, und 

 die Systeme der 31. Symmetrieart durch die Einschaltung der 2-zähligen Symmetrieaxe 4' 



