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zu Stande kommen; solche Einschaltung ist aber nur für System 19 (13 VI) zulässig. 

 Endlich lässt sich ein einziges System der 32. Symmetrieart durch die Einschaltung der 

 Symmetriearten 4', 5' und 8 zusammengenommen ableiten. 



61. Für die Systeme VI. Ordnung haben wir nur die für Triparalleloedersysteme 

 geltenden Betrachtungen zu wiederholen. 



62. Bei der Auffindung der Systeme VIII. Ordnung und rhombischer Syngonie sind 

 die Typen 7;^ VI, 6;[;VI, 6;kV1I und 7 % VII zu berücksichtigen. 



Schicken wir erst als Vorbemerkung den Satz voran, dass jetzt die Schicht- resp. 

 Schichtnetzsysteme ausgeschlossen sind. In der That würden solche Systeme als aus lauter 

 parallel gestellte Schichten resp. Schichtnetzen I. Ordnung aufzufassen sein, und dann wäre 

 das die Einheiten jeder ersten und dritten Schicht verbindende Symmetrieelement ein vier- 

 zäbliges, was für die Systeme der rhombischen Syngonie ausgeschlossen ist. Somit ist aber 

 zugleich jedes Verbandsymmetrieelement ausgeschlossen, welches eine Colonne resp. Colonnen- 

 reihe I. Ordnung in nicht singulärer Richtung bedingt. 



Darauf fussend, ist es leicht, die hierzu gehörenden Systeme erschöpfend darzustellen. 



Für den Typus 7 7 VI stehen überhaupt nur folgende Verbandsymmetrieelemente zur 

 Verfügung: 1', 2, 2', 5, 5', 6 und 6'. Von diesen ist 5' für sämmtliche Grenzflächen peri- 

 pherisch, 5 ist für a, 6' für ft und 2' für c peripherisch; 1', 2 und 6 sind resp. für a, 

 h und c central; alle übrigen sind die schneidenden und bedingen die Colonnenreihen 

 I. Ordnung. 



Für phanerotopische Systeme sind die letzteren überhaupt ausgeschlossen, da ein solches 

 Element eine Schicht IL Ordnung bedingen würde, und das phanerotopische System, welches 

 aus lauter solchen parallelen Schichten IL Ordnung bestehe, wäre das System IV. und nicht 

 VIII. Ordnung. Für phanerotopische Systeme bleiben somit nur die peripherischen und 

 centralen Elemente zur Verfügung stehen. In Folge dessen können wir zwei derselben 

 beliebig auswählen, z.B. & = 2, c = 6; dann ist aber a = b nothwendige Folge, und es 

 bleibt (§ 26) eine andere Fläche d auszuwählen; nehmen wir in Betracht, dass 2' und 6' 

 nothwendiger Weise in diesem Fall peripherisch aufti-eten, so finden wir, dass die Annahme 

 d=h' unzulässig ist, und es bleibt eine einzige Annahme d=^\' übrig, und somit kommt 

 ein einziges hierzu gehöriges System zu Stande. 



Alle übrigen Systeme sind die kryptotopischen. Da in denselben nothwendiger Weise 

 Schichten IL Ordnung vorhanden sind, so sind die Systeme selbst als aus lauter solchen 

 parallelen Schichten bestehend zu betrachten. Diese Schichten bilden aber dabei eine 

 kiyptotopische Reihe. Der Bestimmtheit wegen können wir für diese Schichten die hori- 

 zontalen annehmen; somit werden die Combinationen der Symmetrieelemente durch zweck- 

 mässige Vertauschung bestimmt. 



Für den Typus 6;^ VI, wo die Symmetrieelemente 1', 4, 4', 5, 5', 8, 8' zur Verfügung 

 stehen, finden wir, dass nur 5' für sämmtliche Grenzflächen peripherisch ist; für die Grenz- 

 flächen h und c sind sämmtliche übrigen Elemente die schneidenden. Daraus kommt, dass 

 irgend eine Auswahl, in welcher zwei schneidende Symmetrieelemente ausgeschlossen sind, 

 unmöglich ist, also die Systeme selbst unmöglich sind. 



Die Heptaparalleloedersysteme und zwar des Typus 7 % VII erhalten wir direct, sich auf 

 die Analogie mit 7% VI stützend. Die Systeme des Typus 6;fVII sind ebenfalls unmöglich. 



