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63. Für die Systeme der tetragonalen Syngonie sind die Schichtsysfceme zulässig, da 

 ein 4-zähliges Syrametrieelement, welches versteckt auftreten kann, wirklich vorhanden ist: 

 das ist die polare 4-zählige Schraubenaxe. Diejenigen schneidenden Symmetrieelemente, 

 welche eine zur singulären Richtung schief stehende Colonne I. Ordnung bedingen, sind 

 gänzlich ausgeschlossen. Diejenigen, welche eine der singulären Ebene parallele Colonne 

 I. Ordnung bedingen, führen zur Ausbildung der Schichtsysteme, und diejenigen in der 

 singulären Richtung zur Ausbildung der Colonnensysteme ; die letzteren können aber nicht 

 phanerotopisch auftreten, da sonst die Systeme höchstens IV. Ordnung zu Stande kämen. 

 Das Auftreten eines centralen Verbandsymraetrieelementes bedingt nothwendig die Ausbildung 

 des phanerotopischen Systems. 



Die Schichtsysteme VIII. Ordnung sind nur dann möglich, wenn sämmtliche krypto- 

 topisch auftretende polare Schraubenaxen von einem und demselben Windungssinn sind. 

 Dabei ist aber das Vorhandensein jeglicher Elemente der geraden Symmetrie ausgeschlossen. 

 Folglich sind solche Systeme allein für die 13. Symmetrieart zulässig. 



Bei der Aufsuchung müssen wir wieder von der Tabelle, § 58, Gebrauch machen. Für 

 die Systeme VIII. Ordnung sind aber auch die Annahmen a = 3' und a = 7' ausgeschlossen 

 (es würde daraus explicite Symmetrie folgen). 



Für die 10. Symmetrieart sind die Schichtsysteme ausgeschlossen; folglich keine zwei 

 von drei Zahlen a, i, c gleich sein können. Wie aber für Hexaparalleloeder die Annahmen 

 ö = 3, a = 7 ebenso ausgeschlossen sind, so rauss entweder b oder c einer dieser Zahlen 

 gleich sein. Aus den hierzu gehörenden Zahlencomplexen 2 3 4 5 6 7 8 sind für b und c 

 die Zahlen 4 und 8 ausgeschlossen. Andere Annahmen sind unzulässig. 



Die Heptaparalleloedersysteme lassen sich direct auf Grund der mit der ersteren bestehen- 

 den Analogie ermitteln. 



Für die 12. Syrametrieart lässt sich das einzige phanerotopische System aus der An- 

 nahme & = 7', c = 3' direct auffinden, da dai'aus a = 5, und die Lagen der 4-zähligen 

 Schraubenaxen eindeutig bestimmt sind. Dabei ist d= 1'. Es bleiben allein die Annahmen 

 übrig, dass d ^ h' resp. 5 ist, und dann treten zwei kryptotopische Systeme zu Tage. 



Die Heptaparalleloedersysteme ergeben sich direct auf Grund ihrer Analogie. 



Ebenfalls lässt sich für die 13. Symmetrieart das einzige vorhandene phanerotopische 

 Hexaparalleloedersystem dadurch eindeutig bestimmen, dass man z. B. & ^ 7 und c = 2' 

 setzt. Als pbanerotopisches enthält es nothwendiger Weise die polaren Axen von entgegen- 

 gesetztem Windungssinn. Andere Systeme lassen sich dadurch bestimmen, dass man entweder 

 den beiden Zahlen h und c die Bedeutungen 3 oder 7 zuschreibt, oder eine dieser Zahlen 

 wird z. B. h und die andere & zugeschrieben. Im ersten Falle h' und c', im zweiten h' und c 

 kommen die eindeutig festzustellenden Zahlen für peripherische Symmetrieelemente 2' 

 oder 6' zu. 



Wird aber eine der letzteren Zahlen als der Ausdruck einer schneidenden Schrauben- 

 axe angenommen, so entstehen nothwendig die Schichtsysteme mit kryptotopischen polaren 

 Axen. Je nach dem Windungssinne unterscheidet man zwei verschiedene Systeme- 

 Für Heptaparalleloeder werden die Systeme auf Grund der Analogie direct erschöpfend 

 aufgefunden. 



