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Für die 14. Symmetrieart geht die Auffindung der Systeme besonders einfach vor 

 sich, da es noth wendig ist, für b und c die Zahlen 3' und 7' zu setzen, und für die 

 übrigen schiefen Flächen sind die peripherischen und nur diejenigen schneidenden Symmetrie- 

 axen zu setzen erlaubt, welche die Reihen I. Ordnung bedingen. 



Die Systeme der 15. Symmetrieart lassen sich aus den vorigen durch Einschaltung 

 eines 2-zähligen Symmetrieelementes in expliciter Form ausbilden. Es sind also die Systeme 

 der Prüfung zu unterziehen, ob sie eine solche Einschaltung zulassen. Diese Operation ist 

 allein für die explicit auftretende Axe 5 nicht zulässig, da dieselbe stets eine untergeordnete 

 Symmetrieart ausbildet. Für dieselbe ist also eine specielle Operation anzuwenden. 



Auf Grund des 1. Satzes, § 29, schliessen wir, dass in diesem Fall die der singulären 

 Ebene parallelen Reihen noth wendig 1. Ordnung sind; die dieser Ebene parallelen Schichten 

 sind also höchstens IL Ordnung. Ein hierzu gehörendes System wäre also als solches auf- 

 zufassen, welches aus lauter parallelen Schichten höchstens II. Ordnung bestehe. Schichten 



I. Ordnung kann es jetzt nicht geben, da ein 8-zähliges Symmetrieelement, welches in diesem 

 Falle kryptotopisch auftreten müsste, nicht vorhanden ist. Es sind also allein die Schichten 



II. Ordnung zulässig, welche eine Aneinanderfolge von 4 verschiedenen Gliedern darstellen, 

 und keine Einheit einer dieser Schicht kann dieselbe Orientirung mit keiner Einheit jeder 

 der 3 anderen Schichten zulassen. Somit sind als Verbandsymmetrieelemente alle diejenigen 

 ausgeschlossen (2 4 6 8), welche dieser Bedingung nicht genügen ; auch 3 und 7 sind aus- 

 geschlossen, da sie den kryptotopisch auftretenden polaren Schraubenaxen angehören müssen 

 (wobei natürlich die Axen beiderlei Windungssiunes hätten vorkommen müssen). Für 4 Paar 

 schiefer Flächen bleiben allein folgende Gruppen zulässig: a) 1'5', b) 2' 6', c) 4' 8', d) 3' 7'. 

 Da aber von zwei Gruppen b) und c) eine den Symmetrieelementen angehört, welche die 

 Ausbildung der Colonnen I. Ordnung und folglich auch die Schichten I. Ordnung bedingen, 

 so ist auch von denselben nur eine zulässig. Daraus folgt, dass überhaupt kein hierzu 

 gehöriges System vorhanden ist. 



64. Die Systeme kubischer Syngonie lassen sich einfach aus den früheren durch die 

 Einschaltung der 3-zähligen Symmetrieaxe explicit ableiten. 



Für Hexaparalleloeder der 29. Symmetrieart ist das einzige System 1 der 8. Symmetrie- 

 art um die Möglichkeit dieser Einschaltung zu prüfen (wie aber dies zulässig erscheint, er- 

 halten wir wirklich ein hierzu gehöriges System). Für Hexaparalleloeder der 80. Symmetrieart 

 erhält man auf eben diese Weise aus dem System 1 der 14. Symmetrieart, und für die 

 31. Symmetrieart erhält man das neue System aus System 1 der 13. Symmetrieart. Wie 

 aber in allen diesen Fällen je ein einziges System zur Verfügung steht, so sind alle übrigen 

 Annahmen ausgeschlossen, und keine Systeme mehr möglich. 



Endlich erhalten wir noch zwei neue Systeme der 32. Symmetrieart durch die Ein- 

 schaltung des Inversionscentrums resp. der Symmetrieebene 8 in die, eben erhaltenen Systeme. 

 Auch jetzt sind alle übrigen Annahmen ausgeschlossen. 



Die analoge Prüfung für das Heptaparalleloedersystem führt uns dazu, dass dem 

 System 1 der 8. Symmetrieart die 3-zählige Symmetrieaxe nicht eingeschaltet werden kann, was 

 übrigens daraus augenscheinlich ist, dass aus drei gleichwerthigen (in Bezug auf die einzu- 

 schaltende Symmetrieaxe) Zahlen 8, 8' und 4 zwei der geraden und eine der Decksymmetrie 

 gehören. Für die Systeme der 13. und 14. Symmetriearten führt uns die Prüfung zum 



