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positiven Resultate, und wir erhalten zwei neue Systeme der 30. und 31. Symmetrieart und 

 dabei je eine mit Ausschluss der übrigen Annahmen. Aus diesen beiden lässt sich durch 

 Einschaltung des Inversionscentrums ein und nur ein der 32. Symmetrieart zugehörendes 

 System erhalten. 



65. Was die Systeme XVI. Ordnung betrifft, so sind folgende Annahmen zu prüfen: 

 a) entweder besteht ein solches der 15. Symmetrieart angehörendes System aus lauter parallelen 

 Schichten I. Ordnung, oder b) sind solche Schichten II. Ordnung, oder endlich c) sind diese 

 Schichten IV. oder höherer Ordnung. 



Die Annahme a) ist von vornherein ausgeschlossen, da für dieselbe das Vorhandensein 

 eines 8-zähligen Symmetrieeleraentes nothwendig ist, welches kryptotopisch auftreten würde. 

 Solche Symmetrieelemente sind aber nicht vorhanden. 



Die Annahme b) schliesst aus der Reihe der Verbandsymmetrieelemente diejenigen, 

 welche durch die Zahlen 3 und 7 ausgedrückt werden, und auch alle diejenigen, welche eine 

 Schicht mit der dritten verbindet, also die Zahlen 2, 4, 6, 8, aus; dabei sind die Zahlen der 

 beiden durch eine Schicht getrennten Schichten von einander nicht unabhängig, sondern 

 derart verbunden, dass aus denselben die resultirenden 4-zähligen polaren Axen herauskommen. 

 Hier liegen offenbar zwei und nur zwei Möglichkeiten vor: es sind entweder die Zahlen einer 

 Schicht 3' und 7' und der anderen 5' und 1', oder die Zahlen einer Schicht 2' und 6' und 

 der anderen 4' und 6'; beide Annahmen führen aber zu Systemen VIII. Ordnung. 



Die Annahme der Schichten IV. Ordnung erfordert, dass für jede der zwei Schichten 

 je vier den gestellten Bedingungen genügende Elemente der Verbandsymmetrie vorhanden 

 sind. Dies ist aber nicht der Fall, da von den vier Elementen 2', 4', 6' und 8' stets zwei 

 schneidende sind, welche die Entstehung von Schichten höchstens II. Ordnung bedingen. 

 Da weitere Annahmen ausgeschlossen sind, so erhalten wir als Resultat, dass überhaupt 

 Hexa- und Heptaparalleloedersysteme XVI. Ordnung nicht möglich sind. 



V. Hexa- und Ueptaparalleloedei* II, und höherer Ordnung. 



Ab- 

 leitungs- 

 form 



Sym- 

 metrie- 

 art 



Sym- 

 metrie- 

 grösse 



Nr. 



Typus 

 I. Ordnung 



Charakteristische Zahlen 



Explicite 

 Symmetrie 



Verbandsymmetrie 



Symbol 

 des Systems 



1 a a 

 a aa 

 rt 1 1 

 a aa 



Hexa- und Heptaparalleloßder II. Ordnung.*) 

 I. Trikline Syngonie. 



2 



2 



1 



2 



2 



2 



2 



2 



1 



2 



2 



2 



i^Vii 



a = 5' 

 a = 5' 

 « = 5' 

 a ^ 5' 



ijr(i viy 



ljr{lVII)s 

 IJlilYll)!/ 



*) Der Anschaulichkeit wegen sind sämmtliche Hexa- und Heptaparalleloedersysteme bildlich in 

 den Tafeln VI— XIII dargestellt. Aus diesen Tabellen ist sehr leicht die Tri- und Tetraparalleloeder- 

 systeme mit der ihnen entsjorechenden Lagerung der Symmetrieelemente in Vorstellung zu halten. Dies 

 ist aber für Hexa- und Heptaparalleloedersysteme etwas schwieriger. 



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