568 



pheriscbes Verbandsymmeti-ieeleraenfc auftreten, sondern nur entweder als centrales oder als 

 schneidendes, also nicht in der Form von Symmetrieaxen oder Symmetrieebenen, sondern 

 in der Form 2-zäbliger Schraubenaxen oder Gleitebenen. Dieselben bedingen aber die 

 Entstehung der Colonnen der Reihen I. oder IL Ordnung. Bei der Anwesenheit eines von 

 diesen Verbaixdsymmetrieelementen müssen also in der singulären Schicht und zwar in jeder 

 derselben angehörenden Colonne oder Reihe die Glieder des aus gleich orientirten Ein- 

 heiten zusammengesetzten Netzes anwesend sein; somit kann jede Colonne und jede Reihe 

 dieser Schicht mit der anliegenden parallelen Colonne resp. Reihe durch einfache Translation 

 verbunden sein; das resultirende Symmetrieelement der 2-zähligen Schraubenaxe oder Gleit- 

 ebene mit dieser Translation würde aber den Sätzen § 13, I. Theil gemäss eine 2-zählige 

 Symmetrieaxe resp. Symmetrieebene gewesen sein. Dieselben werden aber, wie eben hin- 

 gewiesen, als Elemente der Verbandsymmetrie ausgeschlossen. 



Auf diesem Satze fassend, schliessen wir, dass sämmtliche Systeme IL und IV. Ordnung 

 nothwendig Schichtsysteme sind, welche aber sehr leicht nach der Ordnung der auftretenden 

 Symmetrieelemente erschöpfend aufzufinden sind. Von denselben zeichnen sich diejenigen 

 II. Ordnung durch phanerotopische singulare Colonnen aus, während in den Systemen 

 IV. Ordnung die Gleitebene resp. die nicht polare 6-zählige Schraubenaxe dieser Colonnen 

 kryptotopisch auftritt. In den Systemen III. Ordnung tritt die polare 3-zählige Schrauben- 

 axe central auf. In den Systemen VI. Ordnung tritt dieselbe Axe kryptotopisch auf (was 

 auch im Falle der central auftretenden polaren 6-zähligen Schraubenaxe angenommen werden 

 kann). In den Systemen XII. Ordnung tritt nothwendig die polare 6-zählige Schraubenaxe 

 kryptotopisch auf. Schichtsysteme von noch höherer Ordnung kann es natürlich nicht 

 geben, und selbst bei den Systemen XII. Ordnung sind die Elemente der geraden Symmetrie 

 ausgeschlossen, und es bleibt somit allein die 25. Symmetrieart zulässig. 



In den Systemen, welche nicht Schichtsysteme sind, tritt die 3-zählige Symmetrieaxe 

 (resp. 6-zählige Axe der zusammengesetzten Symmetrie II. Art) peripherisch auf. 



Es bleibt zu erwähnen übrig, dass die 6-zählige Symmetrieaxe gar nicht peripherisch 

 auftreten kann, während die 6-zählige Axe der zusammengesetzten Symmetrie I. Art lediglich 

 peripherisch in Bezug auf die Grenzfläche a (also halbperipherisch) auftritt. 



Wegen der anschaulichen. Charakteristik der Systeme werden in den Symbolen die 

 Buchstaben s. v, c und li eingeführt, von welchen der erste die horizontalen Schichten, 

 der zweite die verticalen Schichten, der dritte die verticalen Colonnen und der vierte die 

 horizontalen Colonnen bezeichnet. 



VI. Tetraparalleloeder II. und höherer Ordnung. 



Ab- 

 leitungs- 

 form 



Sym- 

 metrie- 

 art 



Sym- 

 metrie- 

 grösse 



Nr. 



Typus 

 I. Ordnung 



Charakteristisclie Zahlen 



Explicite 

 Symmetrie 



Verbandsyrametrie 



Symbol 

 des Systems 



a\ 1 



2 



2 



1 



\ aa 



2 



2 



2 



aaa 



2 



2 



3 



Tetraparalleloeder II. Ordnung. 

 I. Trikline Syngonie. 



\jilY 



1 



fl = 7' 



1^(1 IV)' 



1 



a = l' 



ICTTIIIV)" 



1 



a = T 



ljr(llV)'i 



