586 



Symbol 



des SyniiBor)ilio Systeme 

 Systems 



Symbol 



dos Hemisymmorphe Systeme 

 Systems 



Symbol 



des Asymmorphe Systeme 

 Systems 



32. Oktaedrische 



3 



Symmetrieart {xQ=^n''+^'^^- a^] 



a;j = w''+''aö+>/; x^=^ n<^+''+'> 



22x. +2. +;.,+;. 



22/1. +/|, 4-/^, -\-x\ 



9(zl). +rz|, +rf|, +r?A 



Zu- 

 sammen 



a^+in'^)- 



23/. +i^|,+i^|,+F| 9(/2). +(rf+/)|, +W + /)|. 



24/. +J^^^, +(F+(?)^, 24/1. +(2^+;^)! +(/<'+(?) A, +{'^ + /)2 



+ G^ J^G- 38(/l). +(2J^-r^ + /)^, 



" 2 



+ (2G-fZ + /)^ 

 38(/2). +(2F-(?-/)|, 



+ (2i^+2(?-d+/)|, 

 + (2G-d+/)| 



39 (/l). +(27'^+2ft-rf)|, 

 + (2i^+2/-d)|, 

 + (2I''+2«— rf)-^ 10 



15 6 15 36_ 



73 54 103 230 



67. Vergleiclien wir die jetzt insgesammt erhaltenen Resultate, welche alle, Hauptpunkte 

 besitzenden, regelmässigen Punktsysteme umfassen müssen, mit den früher aufgestellten Punkt- 

 systemen (in der Anzahl 230), so finden wir, dass jetzt alle diese Systeme vertreten sind 

 mit Ausnahme der als (40) und (41) bezeichneten Systeme, welche beide der gyroedrischen 

 Symmetrieart entsprechen (deren Symmetriegrösse also 24 ist). Der Beweis dafür, dass diese 

 Systeme wirklich keine Hauptpunkte besitzen, ist in dem vorhergehenden Ableitungsgange 

 enthalten. Würden diese Systeme Hauptpunkte enthalten, so entsprächen ihnen somit etwaige 

 reguläre Paralleloedersysteme, und hätten wir daraus das Vorhandensein anderer Systeme, 

 und zwar der tetragonalen Syngonie (13. Symmetrieart) bewiesen, welche von jenen durch 

 die Abwesenheit der 3-zähligen Symmetrie- und Schraubenaxen und natürlich auch einer 

 Anzahl resultirender Symmetrieelemente unterschieden werden. Solche Paralleloedersysteme 

 würden höchstens VKI. Ordnung gewesen sein und die Einführung der 3-zähligen Symmetrie- 

 elemente zugelassen haben. Da aber unter den Systemen der 13. Symmetrieart solche Systeme 

 nicht vorhanden sind, so entsprechen auch den Systemen (40) und (41) keine Paralleloeder- 

 systeme. 



Kraft der in § 19 entwickelten Betrachtungen müssen wir nun die hierzu gehörenden 

 regulären Raumtheilungen ■ als aus einer Anzahl Paralleloeder bestehend auffassen. Diese 

 Frage muss besonders besprochen werden. 



