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Jene beiden Systeme können als ein einziger Fall besprochen werden, da dieselben 

 im Grunde genommen gleichartig sind, und eines davon durch Spiegelung aus dem anderen 

 sich ableiten lässt. 



Aus den Gleichungen dieser Systeme lässt sich der Beweis erbringen, dass in denselben 

 die 3-zähligeu Symmetrieaxen mit den 2-zähligen Symmetrieaxen s zum Schnitt kommen. 

 Ein solcher Schnittpunkt für das System (40) lässt sich z. B. durch die Coordinatengrössen 



l l l . 



a?o= — 5, a;j = — -, x^=- — - bestimmen. Führen wir diese Coordinatengrössen in die 



betreffenden Gleichungen ein, so reducirt sich eine Gesaramtheit von 24 Punkten verschiedener 

 Lage in eine Gesammtheit von nur 4 Punkten. Dasselbe geht noch ersichtlicher aus dem 

 entsprechenden Diagramm hervor. Diese Punkte sind also die trigonaltrapezoedrischen 

 Symmetriecentra, d. h. Punkte, in welchen eine 3-zählige Symmetrieaxe sich mit drei dazu 

 senkrechten 2-zähligen Symmetrieaxen schneidet. Nun ist bewiesen worden, dass unter allen 

 Paralleloederarten solche Symmetriecentra nur in Heptaparalleloedern halbperipherisch auf- 

 treten (d. h. von der Gesammtheit der diesem Centrum angehörenden Symmetrieelemente nur 

 ein einziges explicit auftritt). 



Zu demselben Resultate kommen wir aber durch den Vergleich dieser beiden Systeme 

 mit dem System (39). Das letzte, wie dies direct aus dessen Gleichungen zu ersehen ist, 

 kann als eine Gesammtheit von zwei Systemen (40) resp. (41) angesehen werden. Diesem 

 System entspricht aber eine einzige Lösung, und zwar das Paralleloedersystem (39) (13 VII) 

 VIII. Ordnung. Daraus kann direct gefolgert werden, dass den Systemen (40) und (41) 

 ebenfalls Rauratheiluugen entsprechen, deren Einheiten als aus zwei benachbarten Hepta- 

 paralleloedern bestehend zu betrachten sind. 



Die ausführlichere Behandlung dieses Falles würde viel Platz gefordert haben, ohne 

 durch besonderes Interesse desselben belohnt zu werden. 



Jedenfalls ist durch das Vorhergehende die gestellte Aufgabe der Aufsuchung der 

 regulären Plan- und Raumtheilungen vollständig aufgelöst. Keine anderen Typen als 

 die aufgestellten sind möglich. 



