Neuere Beiträge zur Reform <ler Kraniologie. 3(j5 



haben, so müssen wir von einem weit(;r(!n tlieoretisclien niatlieiiiMtischen 

 Studium der Variationsreih(3n absehen und die Frage der Analyse der 

 Scliädelserien nur in Bezug auf die Nacliweisbarkeit der Gesetzmässig- 

 keit weiter prüfen. 



Wir müssen hier nochmals auf die drei Haui)tmomente der Gesetz- 

 mässigkeit der zufälligen Erscheinungen zurückkehren. 



Um die Gesetzmässigkeit der Variationsreihen (z. B. der Schädel- 

 serien) nachweisen zu können, müssen dieselben folgendermaassen be- 

 schaffen sein: 1. dass eine gewisse Wertgrösse eine centrale Stellung 

 iiabe, von welcher nach links ( — ) und nach rechts (-}-) die zwei 

 Hälften der Keihe aus symmetrisch angeordneten Gliedern besteht, so 

 dass die Summe der Differenzen linkerseits mit der Summe der Diffe- 

 renzen rechtersei ts gleich ist, d. h. dass beiderseitige Differenzen sich 

 gegenseitig ganz aufheben (auf Null reducieren); 2. dass alle Wert- 

 grössen (Glieder) sich zwischen zwei Endwerten (Grenzen) bewegen, 

 die sie nicht überschreiten; und 3. dass diejenigen Wertgi'össen (Glieder), 

 die von der centralstehenden eine geringere Abweichung (geringere 

 Differenz) aufweisen, viel häufiger vertreten sein müssen, als die Wert- 

 gi-össen (Glieder) von grösserer Differenz. 



Um nun ermitteln zu können, in wiefern irgend eine Variationsreihe 

 (Schädelserie) diesen Bedingungen genügen kann, müssen wir zunächst 

 prüfen: in wiefern die arithmetische Mittelzahl einer centralen Wert- 

 grösse entspricht. Der Oscillationsexponent kann, wie wir gesehen 

 haben, uns hierüber nur im allgemeinen orientieren. Die Unsicherheit 

 des üscillationsexponenten beruht nämlich auf demselben Moment, wie 

 diejenige der arithmetischen Mittelzahl (denn auch er ist an und für 

 sich nur eine rohe arithmetische Mittelzahl). Ebenso, wie die arith- 

 metische Mittelzahl (M) uns keine Aufklärung über das gegenseitige 

 Grössen- und Zahl- (Häufigkeits-) Verhältnis der einzelnen Glieder ver- 

 schaffen kann, so vermag auch der Oscillationsexponent (Oe) uns nicht 

 darüber aufzuklären, in welchem Grössen- und Zahl- (Häufigkeits-)verhält- 

 nis die einzelnen Differenzen der Wertgrössen zu einander stehen — und 

 dies letztere ist es eben, was wir behufs eines Nachweises der Gesetz- 

 mässigkeit hier erfahren müssen. — Diese Frage löst die Wahrschein- 

 lichkeitsrechnung. 



Internationale Monateschritt für Anat. u. Phys. XI. 20 



